Inneres, Abschluss und Rand

02.12.2013, 14:13

Kääsee

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Inneres, Abschluss und Rand

Hallo,
mal wieder eine Aufgabe.. *hach*... Ich soll von dieser Menge Inneres, Abschluss und Rand bestimmen:
$\begin{eqnarray*} A:=\left\{x\in \mathbb R^n: |x|>1\right\}\cup\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

Ich würde ja einfach sagen:

$\begin{eqnarray*} A^{\circ}=\left\{x\in \mathbb R^n: |x|>1\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \partial A=\left\{x\in \mathbb R^n: |x|=1\right\}\cup\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\left\{x\in \mathbb R^n: |x|\geq1\right\}\cup\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

Kann das stimmen? verwirrt

verwirrt

02.12.2013, 14:16

10001000Nick1

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Ja, das ist richtig.

02.12.2013, 14:37

Kääsee

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Super, danke. Aber wie kann ich das beweisen?

02.12.2013, 14:40

10001000Nick1

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Wie habt ihr denn Inneres, Abschluss und Rand definiert?

02.12.2013, 14:54

Kääsee

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$\begin{eqnarray*} A^{\circ}=\cup\left\{\Omega: \Omega \text{offen}, \Omega \subset A\right\} \end{eqnarray*}$

Also quasi die Vereinigung aller offenen Teilmengen von A? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \overline{A}=\cap\left\{E: A\subset E, E \text{abgeschlossen}\right\} \end{eqnarray*}$

Das würde ich so verstehen: Die Menge aller A mit einer "Ergänzung", sodass sie abgeschlossen sind und davon der Schnitt...

Ja, und der Rand ist eben der Abschluss ohne das Innere. Das leuchtet mir ein^^

02.12.2013, 15:34

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} A^\circ \end{eqnarray*}$ ist also die größte offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \overline{A} \end{eqnarray*}$ ist die kleinste abgeschlossene Obermenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

D.h. du zeigst jetzt: Wenn man zu $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|>1\right\} \end{eqnarray*}$ noch irgendein Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hinzufügt, ist die Menge nicht mehr offen.

Beim Abschluss zeigst du: Wenn man von $\begin{eqnarray*} \overline{A}=\left\{x\in \mathbb R^n: |x|\geq1\right\}\cup\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ irgendein Element wegnimmt, ist die Menge nicht mehr abgeschlossen oder sie ist nicht mehr Obermenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

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02.12.2013, 16:05

Kääsee

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Hmm, ok, fangen wir mal hier mit an:

Zitat:

Original von 10001000Nick1

D.h. du zeigst jetzt: Wenn man zu $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|>1\right\} \end{eqnarray*}$ noch irgendein Element aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hinzufügt, ist die Menge nicht mehr offen.

Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in A\setminus A^{\circ} \end{eqnarray*}$ gilt: es existiert kein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x)\subset A^{\circ}\cup \left\{x\right\} \end{eqnarray*}$

Habe ich das so richtig verstanden?

02.12.2013, 16:13

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Kääsee
Ich muss also zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in A\setminus \textcolor{red}{A^{\circ}} \end{eqnarray*}$ gilt: es existiert kein $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x)\subset \textcolor{red}{A^{\circ}}\cup \left\{x\right\} \end{eqnarray*}$

So ähnlich: Du solltest da aber statt $\begin{eqnarray*} A^\circ \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|>1\right\} \end{eqnarray*}$ schreiben, denn du willst ja erst beweisen, dass das wirklich das Innere ist.

02.12.2013, 16:29

Kääsee

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ok. Gut, dann nehme ich ein x aus $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$
Und wie stelle ich das jetzt mit der Kugel an? Mir ist klar, dass sich in jeder noch so kleinen Umgebung von x ein Element findet, dass nicht in $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|> 1\right\} \end{eqnarray*}$ liegt... Aber wie ich das zeige?! Bin etwas ratlos verwirrt

verwirrt

02.12.2013, 20:19

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Kääsee
ok. Gut, dann nehme ich ein x aus $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Überleg nochmal, was $\begin{eqnarray*} A\backslash \{x\in\mathbb{R}^n:|x|>1\} \end{eqnarray*}$ ist. Das ist jedenfalls nicht $\begin{eqnarray*} \{x\in \mathbb R^n: |x|\leq 1\}. \end{eqnarray*}$

Edit. Betragsstriche ergänzt.

02.12.2013, 20:45

Kääsee

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Zitat:

Original von Kääsee
ok. Gut, dann nehme ich ein x aus $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\leq 1\right\} \end{eqnarray*}$

Überleg nochmal, was $\begin{eqnarray*} A\backslash \{x\in\mathbb{R}^n:x>1\} \end{eqnarray*}$ ist. Das ist jedenfalls nicht $\begin{eqnarray*} \{x\in \mathbb R^n: |x|\leq 1\}. \end{eqnarray*}$

oooh, ich Idiot! Big Laugh

Big Laugh

Das ist dann ja nur {0}, ne? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und um 0 gibt es keine Kugel, weil (egal bei welchem noch so kleinen Radius) nur Elemente außenrum liegen, die nicht in A liegen, richtig?

02.12.2013, 20:50

10001000Nick1

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Ja. Du zeigst ja die Nichtoffenheit der Menge $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb{R}^n:|x|>1\}\cup\{0\}. \end{eqnarray*}$ Und das ist gleich $\begin{eqnarray*} A. \end{eqnarray*}$

Damit hast du jetzt gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb{R}^n:|x|>1\} \end{eqnarray*}$ tatsächlich die größte offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.

02.12.2013, 22:06

Kääsee

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Zitat:

Original von 10001000Nick1

Damit hast du jetzt gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb{R}^n:|x|>1\} \end{eqnarray*}$ tatsächlich die größte offene Teilmenge von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist.

Ok, danke, aber somit habe ich dann doch auch gezeigt, dass ich ein Element aus dem (zu beweisenden) Abschluss wegnehmen kann, nämlich |x|=1 und die Menge immernoch abgeschlossen ist, oder nicht? verwirrt

verwirrt

Und eine Obermenge von A isses ja auch noch, weil es gleich A ist...

edit: Quatsch, was ich gelabert habe. Ist A weder abgeschlossen, noch offen? Wenn ich also das besagte Element wegnehme, ist Die Menge nicht mehr abgeschlossen, oder?
Jetzt hänge ich nur wieder an dem Problem, wie ich das zeige -.-

02.12.2013, 22:08

10001000Nick1

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Nein, $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist nicht abgeschlossen.

02.12.2013, 22:14

Kääsee

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Siehe edit...

02.12.2013, 22:17

10001000Nick1

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OK, dann muss ich jetzt noch mal fragen: Wie habt ihr denn abgeschlossen bzw. offen definiert?

02.12.2013, 22:32

Kääsee

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Ok, also von
$\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\geq1\right\}\cup\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ [/latex] ist das einzige, was ich wegnehmen kann, sodass die Menge Obermenge von A bleibt, |x|=1, ne? Und dann hab ich ja A.

Dann muss ich jetzt also zeigen, dass A nicht abgeschlossen ist.
Wenn ich annehme, A ist abgeschlossen, heißt das $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\setminus A \end{eqnarray*}$ ist offen. So haben wir das definiert.

Und das wäre dann die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\leq1\right\}\setminus \left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

Liege ich hiermit richtig?
Diese Menge ist aber nicht offen, da man für alle x, für die |x|=1 gilt, keine Kugel finden kann, da in beliebigem Umkreis Elemente existieren, die nicht in der Menge liegen, also der Betrag größer 1 ist.
Somit ist dann A auch nicht abgeschlossen.

02.12.2013, 22:44

10001000Nick1

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Achtung: Es gibt mehrere Elemente in $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\geq1\right\}\cup\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$ , die |x|=1 erfüllen. Es gibt also nicht das Element mit |x|=1.

Du musst jetzt einfach irgendein Element y wegnehmen mit |y|=1. (aber eben nicht alle).
Du hast dann die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\geq1\right\}\cup\left\{0\right\}\backslash\{y\} \end{eqnarray*}$ (und das ist nicht A).

(Ich habe das jetzt y genannt, und nicht x, weil x schon in der Definition der Menge stand.)

Dann liegt dieses y natürlich im Komplement der Menge drin. Das Komplement ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n\backslash(\left\{x\in \mathbb R^n: |x|\geq1\right\}\cup\left\{0\right\}\backslash\{y\})=\left\{x\in \mathbb R^n: |x|<1\right\}\cup\{y\}\backslash\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$
Du überprüfst jetzt, ob dieses Komplement offen ist (beachte dabei |y|=1). Wenn das nicht der Fall ist, dann ist die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{x\in \mathbb R^n: |x|\geq1\right\}\cup\left\{0\right\}\backslash\{y\} \end{eqnarray*}$ nicht abgeschlossen.

02.12.2013, 23:32

Kääsee

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Ja, sorry, das ist mir dann auch aufgefallen.
Das Komplement ist aber nicht offen, da ja |y|=1 gilt und somit für jedes y keine Umgebung gefunden werden kann, die vollständig in dem Komplement liegt. Denn in jeder noch so kleinen Umgebung liegen Elemente von außerhalb. Reicht das als Begründung?

02.12.2013, 23:41

10001000Nick1

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Die Formulierung ist vielleicht etwas missglückt: Du schreibst "Für jedes y ...".
Das y ist doch aber ein festes Element. D.h. diese Formulierung ist Unsinn. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schreibe lieber so etwas ähnliches wie folgendes: Das Komplement ist aber nicht offen, da ja |y|=1 gilt und somit für jede Umgebung um y ein Element in dieser Umgebung gefunden werden kann, das außerhalb des Komplements liegt; d.h. keine Umgebung ist vollständig in dem Komplement enthalten.

Oder schöner in Formeln: $\begin{eqnarray*} \forall\epsilon>0\exists z\in B_\epsilon(y): z\not\in\left\{x\in \mathbb R^n: |x|<1\right\}\cup\{y\}\backslash\left\{0\right\} \end{eqnarray*}$

03.12.2013, 00:05

Kääsee

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Dankeschön Mit Zunge

Mit Zunge

Ich habe allerdings noch eine andere Aufgabe. Ich schreibe sie schon mal hin, für heute Abend soll das aber erst mal genügen, du kannst auch morgen antworten, ich gehe jetzt erst mal schlafen.

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} B\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B:=\left\{\frac{1+(2n+1)!}{(2n+1)!}: n\in\mathbb N\right\}\cup \left\{1\right\} \end{eqnarray*}$ kompakt ist.

Ich würde da ansetzen, damit dass B abgeschlossen und beschränkt ist.
Für den Fall beschränkt, kann ich da einfach zeigen, dass von dem ersten Teil ein Grenzwert (0) existiert?

03.12.2013, 00:09

10001000Nick1

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Ja, du kannst das mit dem Grenzwert machen, denn eine konvergente Folge ist auch beschränkt. Allerdings ist der Grenzwert nicht 0, sondern ...?

Gute Nacht! Wink

Wink

03.12.2013, 00:54

Kääsee

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Du glaubst nicht, ich bin eben aufgewachsen und dachte: ich Hohlkopf hab 0 geschrieben! Und bin daher nochmal schnell mit dem Handy on, um das zu berichtigen. Aber wie ich sehe, hast du ja schon geantwortet.
Natürlich ist der Grenzwert 1.

03.12.2013, 08:00

Kääsee

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So, guten Morgen.
Für die Abgeschlossenenheit finde ich es relativ schwer, das Kompliment zu finden...
Oder kann ich einfach so argumentieren, dass ja nur natürliche Zahlen für n zulässig sind und daher zwischen den Elementen immernoch genug "Platz" für eine Kugel ist? Und die 1, die ja beliebig nahe angenähert wird, ist ja im Kompliment auch nicht drin.
Alternativ könnte man noch zeigen, dass jede offene Überdeckung der Menge eine endliche Teilüberdeckung hat, was ich jedoch noch schwerer finde.

03.12.2013, 12:14

Kääsee

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Ich habe gerade in meinen Unterlagen noch gefunden, dass abgeschlossen äquivalent dazu ist, dass der Grenzwert jeder Folge der Menge in der Menge liegt.
So gesehen hätte ich in der Menge doch nur zwei Folgen: Die besagte und eine konstante Folge an=1, oder? Und beide gehen ja gegen 1, was Element der Menge ist...

03.12.2013, 14:36

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Kääsee
Du glaubst nicht, ich bin eben aufgewachsen und dachte: ich Hohlkopf hab 0 geschrieben!

Was? Du bist eben aufgewachsen? Bei den meisten Menschen dauert es doch ein paar Jahre, bis sie ausgewachsen sind. Und du machst das mal schnell nebenbei. Oder bist du eine Eintagsfliege? Da müsste das ja so schnell gehen. Big Laugh

Big Laugh

Ich hab mal noch ein sehr wichtiges Wort ergänzt:

Zitat:

Original von Kääsee
Ich habe gerade in meinen Unterlagen noch gefunden, dass abgeschlossen äquivalent dazu ist, dass der Grenzwert jeder konvergenten Folge der Menge in der Menge liegt.

Denn es kann ja auch Folgen geben, die gar nicht konvergieren.

Zitat:

Original von Kääsee
So gesehen hätte ich in der Menge doch nur zwei Folgen: Die besagte und eine konstante Folge an=1, oder? Und beide gehen ja gegen 1, was Element der Menge ist...

Nein. Es gibt doch noch viel mehr Folgen in der Menge.

03.12.2013, 16:15

Kääsee

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Zitat:

[i]Original von

Nein. Es gibt doch noch viel mehr Folgen in der Menge.

Aber das sind alles Teilfolgen von denen, oder?

03.12.2013, 21:46

10001000Nick1

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Nein.

Für n=1 ist ja z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1+(2\cdot 1+1)!}{(2\cdot 1+1)!}=\frac{7}{6}\in B. \end{eqnarray*}$
D.h. die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{7}{6} \quad\forall n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ liegt in der Menge.
So kannst du jetzt zu jedem Element in B eine konstante Folge bilden.

Du kannst natürlich auch $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases}1, \text{ falls n gerade} \\ \frac{7}{6}, \text{ falls n ungerade}\end{cases} \end{eqnarray*}$ nehmen, diese Folge liegt auch in B.

Du kannst eigentlich jedem Folgenglied irgendeinen Wert aus B zuweisen. Das muss dann natürlich keine Teilfolge von den Folgen sein, die du oben genannt hast.

03.12.2013, 22:08

Kääsee

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Achso, verstanden! Vielen Dank Wink

Wink

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