Untersuchen von Reihen auf Konvergenz

02.12.2013, 17:58	Matejka	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchen von Reihen auf Konvergenz Meine Frage: Gute Tagen, wir haben in der Vorlesung gerade 3 Kriterien (Majoranten, Wurzel und Quotienten) eingeführt mit denen man Reihen auf Konvergenz überprüfen kann. Nun habe ich eine Reihe gegeben die ich auf Konvergenz mit einen von den drei Kriterien lösen soll. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{k}{k+1} \right)^{k^{2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Wurzelkriterium: $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty }sup \sqrt[k]\|{x_k}\| \end{eqnarray}$ für echt kleiner 1 konvergiert dann die Reihe. $\begin{eqnarray} \left(\frac{k}{k+1} \right)^{k^{2}}:=x_k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty }sup \sqrt[k] {\left(\frac{k}{k+1} \right)^{k^{2}}}=\lim_{k \to \infty }sup \left(\frac{k}{k+1} \right)^{k}=\lim_{k \to \infty }sup \left(\frac{1}{1+\frac{1}{k} } \right)^{k}=\lim_{k \to \infty }sup \frac{1}{(1+\frac{1}{k})^{k} }\leq \frac{1}{2}<1 => Reihe konvergiert \end{eqnarray}$ Bei der Ungleichung habe ich Bernoulli benutzt. Bin mir unsicher ob ich diese Abschätzung machen darf/kann/muss und ob die Schritte davor alle so passen. Lg
02.12.2013, 19:37	Matejka	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt der Ungleichung hätte ich ich auch sagen können, dass 1/(1+(1/k))=1/e mit dem Grenzwert, und dass ist (1/e)<1. Hab eben noch so eine ähnliche Aufgabe gemacht, und da ist mir aufgefallen, dass ja (1+(1/n))^n gegen e konvergiert für n geht gegen unendlich.
02.12.2013, 20:51	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Wurzelkriterium ist hier keine schlechte Wahl. Mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung hast Du aber auch schnell ne konv. Majorante gefunden. Es gilt nämlich $\begin{eqnarray} \left(1+\frac 1n\right)^n\geq 2\Rightarrow \left(\frac n{n+1}\right)^{n^2}\leq\left(\frac 12\right)^n. \end{eqnarray}$
02.12.2013, 21:35	Matejka	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, aber das was ich gemacht habe stimmt, oder? Und das was ich leider im doppel Post stehen habe, stimmt das auch?
02.12.2013, 21:51	Grautvornix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das passt schon einigermaßen. Aber vielleicht wäre es so etwas suggestiver. Zunächst gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt[k]{x_k}=\frac 1{\left(1+\frac 1k\right)^k}. \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n=e \end{eqnarray}$ folgt nun: $\begin{eqnarray} \lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{x_k}=\frac 1e. \end{eqnarray}$ Und somit gilt insbesondere: $\begin{eqnarray} \limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{x_k}=\frac 1e<\frac 12<1. \end{eqnarray}$
02.12.2013, 21:53	Matejka	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen lieben Dank!
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »