Konvergenz einer reelen Zahlenfolge

02.12.2013, 18:09

Boastii

Konvergenz einer reelen Zahlenfolge

Aufgabenstellung: Es seien $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ zwei reelle Zahlenfolgen, für die bekannt sei, dass die Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n + b_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a_n - b_n )_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergieren mit $\begin{eqnarray*} x:= lim_{ n \rightarrow \infty } (a_n +b_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y:= lim_{n \rightarrow \infty} (a_n -b_n) \end{eqnarray*}$ . Beweisen Sie bitte, dass dann auch die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ konvergiert, wobei $\begin{eqnarray*} lim_{n \rightarrow \mathbb N} a_n = \frac{x+y}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Mein Ansatz:
Ich würde sagen, dass ich ja schon weiß, dass die Folge oberhalb $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und die Folge unterhalb von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert. Und das mit dem betraglichen Abstand von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ . Jetzt könnte ich sagen, dass wenn ich beide Folgen (Oberhalb und Unterhalb von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ) addiere, bin ich ja wieder in einer bestimmten Epsilon Umgebung. Nun mache ich das geteilt durch 2 und es ist ja logisch das dass noch kleiner ist, also auch noch innerhalb der Epsilon Umgebung.

Ist die Idee 1. Richtig? 2. Wie könnte ich das Formal niederschreiben?

MfG Boastii

02.12.2013, 18:27

HAL 9000

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Gewöhnlich fängt man ja nicht bei Null an und kennt schon einige Regeln beim Rechnen mit konvergenten Folgen, so z.B.

Zitat:

(a) Sind $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (y_n) \end{eqnarray*}$ konvergente Folgen, so ist auch $\begin{eqnarray*} (x_n+y_n) \end{eqnarray*}$ konvergent und es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (x_n+y_n) = \lim_{n\to\infty} x_n + \lim_{n\to\infty} y_n \end{eqnarray*}$ .

(b) Ist $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ ein konvergente Folge und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl, so ist auch $\begin{eqnarray*} (\lambda \cdot x_n) \end{eqnarray*}$ konvergent und es gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (\lambda \cdot x_n) = \lambda \lim_{n\to\infty} x_n \end{eqnarray*}$ .

Beide Regeln hier angewandt, und zwar (a) mit $\begin{eqnarray*} x_n=a_n+b_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_n=a_n-b_n \end{eqnarray*}$ sowie (b) mit $\begin{eqnarray*} x_n=2a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , erledigen alles.

02.12.2013, 18:41

Boastii

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Hey HAL 9000,

danke erstmal für deine Antwort.
Jetzt ist mir alles klar, hatte mich nur gewundert warum es auf die Aufgabe so viele Punkte gab Augenzwinkern

.

Ich habe das erst mal bewiesen, das zwei konvergente Folgen addiert, wieder eine Konvergente Folge ist. Da das gilt bekomme ich $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{2*lim_{n\rightarrow \infty}{2} \end{eqnarray*}$ Woraus sich aus b) wieder eine Konvergente Folge ergibt.

MfG Boastii

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