Elliptische Kurven und Galoiserweiterungen durch Punkte endlicher Ordnung

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02.12.2013, 18:32	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Elliptische Kurven und Galoiserweiterungen durch Punkte endlicher Ordnung Hi, ich lese gerade "Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms" und bin gerade in dem Unterkapitel über Punkte endlicher Ordnung auf elliptischen Kurven. Zuerst wird dort bewiesen: Sei $\begin{eqnarray} K'/K \end{eqnarray}$ eine Körpererweiterung, $\begin{eqnarray} \sigma:K'\rightarrow\sigma K' \end{eqnarray}$ ein Körperisomorphismus, der $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ nicht verändert. Sei $\begin{eqnarray} \P=(x,y,z) \in\mathbb P_{K'}^2 \end{eqnarray}$ ein Punkt auf der durch $\begin{eqnarray} y^2=f(x) \end{eqnarray}$ definierten elliptischen Kurve mit $\begin{eqnarray} f(x)\in K[x] \end{eqnarray}$ mit exakter Ordnung $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ . Dann hat $\begin{eqnarray} \sigma P = (\sigma x, \sigma y, \sigma z) \end{eqnarray}$ auch exakte Ordnung $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ . Aus dieser Aussage wird dann folgendes gefolgert: Sei jetzt $\begin{eqnarray} K\subset \mathbb C \end{eqnarray}$ , dann sei $\begin{eqnarray} K_N \end{eqnarray}$ der Körper, der durch Adjunktion der x- und y-Koordinaten der Punkte mit Ordnung $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ entsteht. $\begin{eqnarray} K_N^+ \end{eqnarray}$ sei der Körper der durch Adjunktion von nur den x-Koordinaten der Punkte mit Ordnung $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ entsteht. Dann sind $\begin{eqnarray} K_N/K, K_N^+/K \end{eqnarray}$ endliche galoische Körpererweiterungen. Zum Beweis dieser Aussage wird nur gesagt: Da endlich viele komplexe Zahlen adjungiert werden, die von allen Automorphismen von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , die $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ nicht verändern, permutiert werden, ist es eine endliche galoische Körpererweiterung. Das verstehe ich nicht. Wenn ich mir die Definition von einer galoischen Erweiterung bei Wikipedia angucke, finde ich, dass sie algebraisch, normal und separabel sein muss. Außerdem steht da noch: "Eine algebraische Erweiterung ist genau dann galoissch, wenn der Fixkörper Fix(Aut(L/K)) der K-Automorphismengruppe gleich K ist." Also die erste Hürde ist, ob es sich hier um eine algebraische Erweiterung handelt. Eventuell kann man damit argumentieren, dass sie alle auf der elliptischen Kurve liegen. Aber gerade fällt mir nur ein, dass das für x-Koordinaten hilft, falls $\begin{eqnarray} y^2\in K \end{eqnarray}$ . Wenn es eine algebraische Erweiterung ist, bleibt immer noch die Frage, ob es auch galoisch ist. Da jeder Körper mit Charakteristik 0 vollkommen ist, reicht es dann zu zeigen, dass die Erweiterung normal ist. Wahlweise könnte man auch zeigen, dass es K-Automorphismen gibt, die die adjungierten Punkte wirklich permutieren. Oder ist das irgendwie klar? Vielen Dank im Vorraus für jede Hilfe. Grüße David
04.12.2013, 12:33	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn es eine algebraische Erweiterung ist, dann kann ich mittlerweile zeigen, dass sie auch galoisch ist. Ich musste mich nochmal mit diesem ganzen Algebra-Kram beschäftigen. :-) Also angenommen, sie ist algebraisch, dann gibt es für jedes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ aus der Körpererweiterung ein Minimalpolynom $\begin{eqnarray} f(x)\in K[x] \end{eqnarray}$ . Folgender Satz hat mir gefehlt: Es gibt immer einen Automorphismus des Zerfällungskörpers (und damit von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ ), der $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ fest lässt und die Nullstellen dieses Polynoms permutiert. Da alle $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Automorphismen von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray} K_N \end{eqnarray}$ nur Werte in $\begin{eqnarray} K_N \end{eqnarray}$ annehmen, liegen die übrigen Nullstellen des Minimalapolynoms wieder in $\begin{eqnarray} K_N \end{eqnarray}$ , die Erweiterung ist also normal. Die Frage ist also wirklich nur, ob diese Erweiterung auch algebraisch ist. Im Buch wird einige Seiten weiter ein Polynom konstruiert, dass als Nullstellen genau die Punkte der Ordnung $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ enthält. Das würde ja genügen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob dabei schon benutzt wird, dass die Erweiterung galoisch ist. Ich werde das in den nächsten Tagen mal versuchen zu verstehen. ;-) Wenn jemand mir bis dahin weiterhelfen kann, freue ich mich natürlich. Viele Grüße David
04.12.2013, 14:20	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo nore, habe das hier mitverfolgt, also ich war mir von anfang an sicher, dass die erweiterung normal, endlich, algebraisch und galoisch ist, deine probleme konnte ich nicht nachvollziehen. Ich finde es übrigens gut, dass du dich mit solchen sachen beschäftigst, du weisst, wenn man sich mit elliptischen kurven und modulformen auskennt, hat man dann auch zugang zu dem berühmten beweis für den grossen fermatschen satz... gruss ollie3
04.12.2013, 14:58	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ollie3, vielleicht könntest du mir dann noch etwas weiterhelfen. Woraus wird denn ersichtlich, dass es sich um eine endliche galoische Erweiterung handelt? Dass sie algebraisch ist, habe ich immer noch nicht ganz nachvollziehen können. Bei der Konstruktion des Polynoms wird leider nur auf die elliptischen Kurven in Weierstraß-Form $\begin{eqnarray} y^2=4x^3-g_2x-g_3 \end{eqnarray}$ eingegangen. Es wird aber nicht benutzt, dass die Erweiterung galoisch sein muss. Dafür wird bei der Begründung, dass das Polynom nur Koeffizienten in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ hat so argumentiert: Weil jeder Automorphismus von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , der $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ fest lässt die Nullstellen des Polynoms permutiert, sind die Koeffizienten alle in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ . Das wiederum verstehe ich nicht bzw kenne den Satz und dessen Herleitung nicht. Ist das denn wirklich immer so? Und wie begründet man das? Grüße David
04.12.2013, 15:08	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich muss noch was ergänzen: direkt danach wird es für allgemeinere elliptische Kurven erklärt. Und zwar: Durch $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ -faches Hintereinanderausführen der Additionsformel für den $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ -Wert erhält man einen rationalen Ausdruck in den $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ - und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Koordinaten des Punktes $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ . Der Nenner verschwindet genau dann, wenn $\begin{eqnarray} NP=0 \end{eqnarray}$ . Also reicht es, wenn der Nenner ein Polynom in $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist. Durch $\begin{eqnarray} y^2=f(x) \end{eqnarray}$ können wir dafür sorgen, dass $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ nicht quadratisch oder mit höherem Exponenten auftaucht. Hier wird nicht näher darauf eingegangen, warum das reicht. Reicht das? $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ kann ja trotzdem weiter auftauchen und muss noch immer nicht in $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ liegen. :-( Danke für jede Hilfe. Grüße David
04.12.2013, 15:27	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ist dir bewusst, dass jede endliche Erweiterung algebraisch ist? P.S. galoissch, von Galois
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04.12.2013, 16:15	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Ja, das ist mir bewusst. Grüße David
05.12.2013, 15:49	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo an alle, die noch mitlesen, ich glaube, ich habe die Lösung: Für ein transzendentes Element $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ einer Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb C /K \end{eqnarray}$ ist die Menge $\begin{eqnarray} \{\sigma(a)\|\sigma\in Aut_K(\mathbb C)\} \end{eqnarray}$ unendlich. Und zwar wegen Fogendem: Betrachten wir die linear unabhängige Menge $\begin{eqnarray} \{1, a, a^2, a^3, ...\} \end{eqnarray}$ . Dann können wir für jedes $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N^+ \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -lineare bijektive Abbildung von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ definieren, die $\begin{eqnarray} a^n\mapsto a^{kn} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 1\mapsto 1 \end{eqnarray}$ . (Ich hoffe, das geht wirklich.) Die Bijektivität sollte sich zeigen lassen, weil $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ algebraisch abgeschlossen ist. Dass $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ festgehalten wird, ist klar und dass es sich um einen Körperhomomorphismus handelt, sollte man auch einfach folgern können. Ich werde das noch etwas genauer ausarbeiten und dann nochmal hier posten. Grüße David
05.12.2013, 16:38	nore	Auf diesen Beitrag antworten »
Kurzes Update: Der Weg führt mich in eine Sackgasse. Ich kann nichtmal zeigen, dass $\begin{eqnarray} \{1,a,a^2,...\} \end{eqnarray}$ linear unabhängig ist, sondern nur dass endliche Teilmengen davon linear unabhängig sind. Es gibt natürlich unendlich viele linear unabhängige Elemente und mein erster Gedanke war, dass es für jedes einen Automorphismus geben muss, der $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ darauf abbildet, aber dann bekomme ich schnell Probleme mit der Verträglichkeit mit der Körpermultiplikation. Summa Summarum: Ich komme hier auch nicht weiter. Grüße David

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