Lineare Optimierung - Aufgabe

02.12.2013, 19:47

Lisi ?

Lineare Optimierung - Aufgabe

Meine Frage:
Hallo! smile

Ich bin schon am verzweifeln :'( Und zwar hab ich am Mittwoch Schularbeit in Mathe und der Lehrer hat uns eine Aufgabe gegeben die ich nicht kapiere. Leider war er so faul und hat uns keine Lösungen gegeben :/
Hier mal die Angabe:

Ein Kranker soll täglich 50g Fett, höchstens 20g Kohlenhydrate, jedoch mindestens 135g Eiweiß zu sich nehmen. Es stehen zwei Grundnahrungsmittel A und B zur Verfügung. Die folgende Tabelle gibt den Preis in ? je kg an und die Prozentanteile an Fett, Kohlenhydrate und Eiweiß.

Fett Kohlenhydrate Eiweiß Preis in ?/kg
A 10% 25% 20% 2
B 5% 40% 45% 6

Bei welcher Zusammensetzung von A und B ist die tägliche Verpflegung am billigsten?

Wenn du das in einer Linearen Optimierung lösen kannst, wär ich 1000x Dankbar Augenzwinkern

LG Lisi ?

Meine Ideen:
Meine Idee:

Nebenbedingungen:

I:10x+5y<50
II:25x+40y<20
III:20x+45y<135

Zielfunktion:
2x+6y=Zmax

Wenn ich das ausrechne und in als Graph zeichne bekomme ich keine Scnittpunkt unglücklich

02.12.2013, 20:36

Kasen75

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Original von Lisi ?

Meine Ideen:
Meine Idee:

Nebenbedingungen:

I:10x+5y<50
II:25x+40y<20
III:20x+45y<135

Laut Aufgabentext müssten die Nebenbedingungen wie folgt lauten:

$\begin{eqnarray*} I:0,1x+0,05y=50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II:0,25x+0,4y\leq 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III:0,2x+0,45y\geq 135 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV: x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Die Koeffizenten sollten die Anteile wiedergeben.

Ich bekomme hier aber auch keine Lösung. unglücklich

Vielleicht ist ja die 2. Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} II:0,25x+0,4y\leq \textcolor{blue}{200} \end{eqnarray*}$

Grüße

03.12.2013, 15:43

Math1986

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Original von Kasen75
Meine Ideen:

$\begin{eqnarray*} I:0,1x+0,05y=50 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II:0,25x+0,4y\leq 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III:0,2x+0,45y\geq 135 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV: x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$

Edit: Die Koeffizenten sollten die Anteile wiedergeben.

Ich bekomme hier aber auch keine Lösung. unglücklich

hm, sollen die Koeffizienten wirklich die Anteile wiedergeben? verwirrt

Ich gehe im Folgenden davon aus, dass x und y das Gewicht in kg angeben.

Meiner Meinung nach müsste man hier die Prozent- in Gewichtangaben umrechnen, wie folgt:
Wenn ich die Aufgabe richtig interpretiere, enthält 1kg von Nahrungsmittel A genau 10% Fett, das wären 100g.
Entsprechend enthält 1kg B genau 50g Fett.

Insgesamt komme ich so auf die erste Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} 100x + 50y=50 \end{eqnarray*}$

Die anderen Nebenbedingungen gehen analog.
$\begin{eqnarray*} 250x+400y\leq 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 200x+450y\geq 135 \end{eqnarray*}$

Würde man nach deinem Ansatz vorgehen, so müsste man die Gramm-Angaben in Kilogramm umrechnen, was letztlich auf das selbe hinausläuft (Multiplikation obiger Ungleichung mit einem konstanten Faktor 1/1000).

Kann es grade nicht nachrechnen, hoffe es stimmt so smile

03.12.2013, 15:48

Lisi ?

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe
Hallo hab bei der Angabe ein Wort vergessen Big Laugh

Ein Kranker soll täglich höchstens 50g Fett ....

Sorry unglücklich

03.12.2013, 15:49

Math1986

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Original von Lisi ?
Hallo hab bei der Angabe ein Wort vergessen Big Laugh

Ein Kranker soll täglich höchstens 50g Fett ....

Na und?
Ändert nichts Wesentliches an meinem Beitrag oben, außer dass aus der Gleichung eben eine Ungleichung wird.

03.12.2013, 15:55

Lisi ?

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Meiner Meinung nach müsste man hier die Prozent- in Gewichtangaben umrechnen, wie folgt:
Wenn ich die Aufgabe richtig interpretiere, enthält 1kg von Nahrungsmittel A genau 10% Fett, das wären 100g.
Entsprechend enthält 1kg B genau 50g Fett.

Insgesamt komme ich so auf die erste Nebenbedingung
$\begin{eqnarray*} 100x + 50y=50 \end{eqnarray*}$

Die anderen Nebenbedingungen gehen analog.
$\begin{eqnarray*} 250x+400y\leq 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 200x+450y\geq 135 \end{eqnarray*}$

Also ich versteh das so, dass du das so rechnest:
1kg.......100%
x...........50%
X=(1*50)/100

Ich versuchs mal so zu machen Big Laugh

hoffe es funktioniert Augenzwinkern

03.12.2013, 17:24

Kasen75

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Original von Math1986
hm, sollen die Koeffizienten wirklich die Anteile wiedergeben? verwirrt

Ja, genau. smile

x und y sind dann jeweils mit der Einheit Gramm versehen.

Edit: Ich habe mal die Aufgabenstellung gegoogelt. Und ich habe hier folgendes gefunden:

Zitat:

L2) Ein Kranker soll höchstens 50g Fett, höchstens 200g Kohlenhydrate, jedoch mindestens 135g Eiweiß zu sich nehmen. Es stehen zwei Grundnahrungsmittel A und B zur Verfügung. A enthält 10% Fett, 25% Kohlenhydrate, 20% Eiweiß und kostet € 20,- pro kg; B enthält 5% Fett, 40% Kohlenhydrate, 45% Eiweiß und kostet € 60,- pro kg. Bei welcher Zusammenstellung von A und B werden die Verpflegungskosten minimal?

Das legt die Vermutung nahe, dass es tatsächlich höchstens 200g Kohlenhydrate sein sollen.

03.12.2013, 19:39

Math1986

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Original von Kasen75

Zitat:

Original von Math1986
hm, sollen die Koeffizienten wirklich die Anteile wiedergeben? verwirrt

Ja, genau. smile

x und y sind dann jeweils mit der Einheit Gramm versehen.

Ich komme auf etwas anderes, siehe oben. Verstehe gerade nicht was du mir damit sagen willst verwirrt

03.12.2013, 19:48

Lisi ?

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe
Hey Super Danke smile

versuche es dann mal mit diesen Angaben zu lösen Big Laugh

LG Lisi

03.12.2013, 21:11

Kasen75

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Original von Math1986
Ich komme auf etwas anderes, siehe oben. Verstehe gerade nicht was du mir damit sagen willst verwirrt

Inwiefern kommst du auf etwas anderes ? Ich komme jedenfalls auf die Lösung wie im Link (siehe Grafik)

Ich wollte nur deine Frage beantworten. smile

03.12.2013, 21:29

Math1986

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe
Naja, wie oben dargelegt komme ich auf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 100x + 50y\geq 500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 250x+400y\leq 200 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 200x+450y\geq 135 \end{eqnarray*}$

(Also alle Angaben in Gramm)

Das deckt sich nicht mit deinem:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} I:0,1x+0,05y\geq 500 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II:0,25x+0,4y\leq 20 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III:0,2x+0,45y\geq 135 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV: x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$

(bei beiden die geänderten Werte angepasst)

03.12.2013, 21:48

Lisi ?

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe
Hallo Wink

also ich habs mal versucht und komme auf das gleiche Ergäbnis wie Kasen75 Augenzwinkern

Danke hat mir wirklich sehr geholfen und mal schauen wie die Schularbeit morgen ist.

Wünscht mir glück Big Laugh

03.12.2013, 23:04

Kasen75

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe

Zitat:

Original von Math1986
Naja, wie oben dargelegt komme ich auf

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 100\frac{g}{kg}\cdot x \ kg + 50\frac{g}{kg}\cdot y \ kg\geq \textcolor{blue}{50 \ g} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 250\frac{g}{kg}\cdot x \ kg+400\frac{g}{kg}\cdot y \ kg\leq 200 \ g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 200\frac{g}{kg}\cdot x \ kg+450\frac{g}{kg}\cdot y \ kg\geq 135 \ g \end{eqnarray*}$

(Also alle Angaben in Gramm)

Das deckt sich nicht mit deinem:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} I:0,1x+0,05y\geq \textcolor{blue}{50} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II:0,25x+0,4y\leq \textcolor{blue}{200} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III:0,2x+0,45y\geq 135 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} IV: x,y \geq 0 \end{eqnarray*}$

(bei beiden die geänderten Werte angepasst)

Ich habe es nochmal angepasst. Die 50g bleiben ja.

Bei dir sind x und y jeweils die Mengenangaben in kg und die Koeffizienten sind jeweils die Grammangaben pro Kilogramm. Ich hoffe ich habe es richtig interpretiert. Ergebnis bei Dir: $\begin{eqnarray*} x=0,45; y=0,1 \end{eqnarray*}$

Bei mir sind x und y die Mengen (in Gramm) und die Koeffizienten die Anteile.
$\begin{eqnarray*} x=450,y=100 \end{eqnarray*}$

Insofern müsste beides passen.

Zitat:

Original von Lisi ?
Wünscht mir glück Big Laugh

Das tun wir. Also, viel Glück und viel Können für morgen. smile

04.12.2013, 10:37

Math1986

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RE: Lineare Optimierung - Aufgabe
Ja, damit müssten beide Ansätze passen. Ich war nur verwirrt, weil du die Zielfunktion so hast stehen lassen:

Zitat:

2x+6y=Zmax

Diese bezieht sich eben eindeutig auf den Preis pro Kilogramm.

Gut, für die Zusammensetzung ist das egal, aber nicht für die Kosten am Ende.

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