Menge von Vektoren mit Variablen linear unabhängig

02.12.2013, 20:11	Briti	Auf diesen Beitrag antworten »
Menge von Vektoren mit Variablen linear unabhängig Es seien v1 = (0, 0, 1), v2 = (0, 1, 0) sowie w1 = (2, 0, 1),w2 = (0, 1, 2) Vektoren aus GF(3)³. Geben Sie alle Vektoren x ∈ GF(3)³ an, so dass beide Mengen {v1, v2, x} und {w1,w2, x} linear unabhängig sind. Das ist unsere Aufgabe, ich habe folgendes versucht bisher: Ich hab versucht v1, v2 und x in Matrixform aufzuschreiben Da hab ich $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und hätte damit sinnvoll abzulesen dass a=0? v2=-bx und v1=-cx bringt mir nix oder? Dann hab ichs probiert mit $\begin{eqnarray} \lambda _1 \end{eqnarray}$ (0,0,1) + $\begin{eqnarray} \lambda _2 \end{eqnarray}$ (0,1,0) + $\begin{eqnarray} \lambda _3 \end{eqnarray}$ *(a,b,c) = (0,0,0) Aber da seh ich erst recht nix. Wo ist der Lösungsansatz? Vielen Dank
02.12.2013, 23:07	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Vektoren mit Variablen linear unabhängig .
03.12.2013, 00:04	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge von Vektoren mit Variablen linear unabhängig Die Komponente $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} x := (a,b,c)\in \mathbb F_3^3 \end{eqnarray}$ muss ja auf alle Fälle ungleich 0 sein. $\begin{eqnarray} \{(1,b,c),v_1,v_2\} \end{eqnarray}$ sind für alle b,c linear unabhängig. Nun kann man die Determinante berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}2&0&1<br /> 0&1&b<br /> 1&2&c\end{vmatrix} = 2b+2c-1\not=0\Rightarrow 2(b+c)\not= 1\Rightarrow b+c\not= 2 \end{eqnarray}$ Dies ist die Bedingung für die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} \{(1,b,c),w_1,w_2\}\;. \end{eqnarray}$ Analog kann man für $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix}2&0&2<br /> 0&1&b'<br /> 1&2&c'\end{vmatrix} \not=0 \end{eqnarray}$ schließen, oder einfach die Lösungen $\begin{eqnarray} (1,b,c) \end{eqnarray}$ mit 2 multiplizieren.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »