Topologie: Trennungsaxiome: suche (X,T) der T4 erfüllt aber nicht T3

02.12.2013, 23:49	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie: Trennungsaxiome: suche (X,T) der T4 erfüllt aber nicht T3 Hallo zusammen, ich bin gerade an einer Aufgabe, in der ich ein Beispiel finden soll. Gesucht ist ein topologischer Raum (X,T), wobei die Menge X endlich und so klein wie möglich sein soll, sodass gilt: T4 gilt, aber nicht T3. Wir haben die Trennungsaxiome wie folgt definiert: T3: Zu A Teilmenge von X abgeschlossen und b einem Punkt aus X\A gibt es disjunkte Umgebungen. T4: Zu A, B Teilmengen von X und abgeschlossen und disjunkt gibt es disjunkte Umgebungen. Dabei ist T4 stärker als T3 und wir hatten noch notiert, dass aus T3 und X kompakt T4 folgt. Meine Probleme: - Ich weiß nicht, wie ich an einen Raum kommen soll, der T3 erfüllt und nicht T4 außer wie bisher einfach alle nicht kompakten Räume die ich kenne daraufhin zu testen. Hier war ich bisher aber noch nicht erfolgreich (wenn denn meine Argumentationen unten richtig sind) - Bezüglich welcher Topologie habe ich hier gerechnet? Ich weiß, dass ich diese immer explizit angeben muss und es zu einem X viele verschiedene Topologien geben kann. Aber ich sehe nicht, wo das hier einfließt, bzw. mit welcher Topologie ich her (unbewusst) gerechnet habe. mein bisheriger Ansatz: Ich möchte ja nun einen passenden Raum X finden. Dazu muss ich einen Raum wählen, der nicht kompakt ist. Also z.B. Sei $\begin{eqnarray} X = ]-\sqrt{2}, \sqrt{2}[ \end{eqnarray}$ in den rationalen Zahlen. zeige: T3 gilt: Nun wähle ich eine abgeschlossene Teilmenge A=[a,c] mit $\begin{eqnarray} a>-\sqrt{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c<-\sqrt{2} \end{eqnarray}$ . Für jedes b muss ich nun eine Umgebung finden, die disjunkt zu A ist. Aber für das b das "direkt neben" a bzw. c liegen würde wäre das nicht möglich. Aber da wir in den rationalen Zahlen sind, kann ich zwischen zwei rationalen Zahlen immer nochmals eine rationale Zahl finden, also ist immer Platz für eine solche Umgebung. Das heißt dieser Raum erfüllt T3. Zeige: T4 gilt nicht: Seien A,B zwei abgeschlossene disjunkte Teilmengen aus X. Zeige: Es gibt disjunkte Umgebungen. Nach derselben Argumentation wie oben, erhalte ich disjunkte Umgebungen.. Also gilt T4. Ich muss also weitersuchen.. Freue mich über Hilfe, lg Duude
02.12.2013, 23:54	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Trennungsaxiome: suche (X,T) der T4 erfüllt aber nicht T3 Hallo Duude, Ich bin jetzt nicht so der Topo-Crack - aber T4 ist doch ein ziemlich starkes Axiom, oder? (sagt man dazu nicht 'normal' oder so?). Ich glaube, dass R² mit der Standardmetrik schon ein passender Raum sein sollte.
03.12.2013, 00:32	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, T4 ist schon relativ stark. T5 ist aber z.B. noch stärker. Ich habe mal versucht, deinen Vorschlag durchzurechnen, komme aber darauf, dass sowohl T3 als auch T4 gelten, also wäre das (wenn mein Nachrechnen richtig ist) noch kein passendes Beispiel. Hier mein Beweis: zeige: $\begin{eqnarray} (R^2, T) \end{eqnarray}$ erfüllt T3: Sei $\begin{eqnarray} A \subset R^2 \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Also X\A offen. Sei $\begin{eqnarray} b \in X/A \end{eqnarray}$ , d.h. für alle b gilt, es existiert eine Umgebung U um b, sodass gilt: $\begin{eqnarray} U \subset X/A \end{eqnarray}$ (aufgrund der Definition von offen). Also gilt T3 (was wir wollen). Nun erhalte ich aber wie folgt, dass T4 gilt (was ich nicht möchte): Seien $\begin{eqnarray} A,B \subset R^2 \end{eqnarray}$ abgeschlossen und disjunkt. Zeige: Es gibt keine diskunkten Umgebungen (dann gilt T4 nicht). Da A abgeschossen ist X/A offen. Da A und B disjunkt sind, muss B komplett im Komplement von A liegen, also $\begin{eqnarray} B\subset X/A \end{eqnarray}$ . Also gilt für jeden einzelnen Punkt b in B: Es gibt eine Umgebung $\begin{eqnarray} U_b \end{eqnarray}$ um b, sodass diese komplett im Komplement von A liegt. Also gibt es "Platz" für eine disjunkte Umgebung. Und T4 gilt. Ich wollte aber zeigen, dass T4 nicht gilt. Wenn das so richtig ist, müssen wir also weitersuchen... Gibts weitere Vorschläge? Ich hatte noch versucht über den Satz von Tychonoff zuerst zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (R^2, T) \end{eqnarray}$ nicht kompakt ist. Damit ist unser Raum schon mal ein Kandidat (denn wenn unser topologischer Raum kompakt ist, müssen wir gleich ein anderes Beispiel suchen), ich glaube das müsst gehen (also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (R^2, T) \end{eqnarray}$ nicht kompakt ist) bin dabei aber an der Ausführung gescheitert, da ich das mit dem Produkt nicht richtig hinbekommen habe..
03.12.2013, 01:07	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Was du sagst ist natürlich richtig. Ich hatte eine andere Eigenschaft (abgeschlossene Mengen haben keinen positiven Abstand) im Kopf, was natürlich schwächer ist. Also solche Räume müssen schon etwas weird aussehen. Z.B.: Definiere $\begin{eqnarray} T := \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ . Dann betrachte $\begin{eqnarray} (X, t) := (\mathbb{R}, t_1) \times ( T, t_2) \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ die von der (euklidischen) Metrik induzierte Topologie ist und man noch alle irrationalen Punkte als offene Mengen hinzunimmt. Und $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ ist die von der (euklidischen) Metrik induzierte Topologie auf T. Dann betrachte $\begin{eqnarray} A = \mathbb{Q} \times T \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} D = \left\{ (x,x) \| x \in T\right\} \end{eqnarray}$ . Beide Mengen sind abgeschlossen. Und wenn man sich eine beliebige offene Umgebung um die Diagonale D anschaut, dann enthält die so "waagrechte" Intervalle, und wenn man eine offene Umgebung um A anschaut, dann sind das um jeden Punkt so "Rechtecke". Und irgendwann liegt in einem der Rechtecke ein Punkt aus D. Also ist der Raum nicht T4. Aber als Produkt von T3 Räumen ist er wieder T3.
03.12.2013, 23:54	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe mittlerweile einen anderen Ansatz verfolgt.. X soll ja endlich und so klein wie möglich sein (was bei deinem Beispiel leider nicht der Fall ist). Also habe ich einfach mal klein angefangen: (bei meinem bisherigen Ansatz müsste ich ja noch zeigen, dass die betrachtete Menge X so klein wie möglich ist, also lohnt es sich, direkt unten anzufangen..) Sei $\begin{eqnarray} X=\{a,b\}, \quad T(X)=\{\emptyset, X, \{a\}\} \end{eqnarray}$ zeige: T3 gilt nicht: Abgeschlossen sind hierbei also die Mengen $\begin{eqnarray} \emptyset, X, \{b\} \end{eqnarray}$ . Wähle also $\begin{eqnarray} \{b\}\subset X \end{eqnarray}$ abgeschlossen und $\begin{eqnarray} a \in X/\{b\} \end{eqnarray}$ . Die einzige offene Umgebung von b ist X. Wenn T3 gälte, müsste gelten, dass X geschnitten mit einer Umgebung von a die leere Menge ergibt. Aber da Umgebungen von a nur a selbst und X sind, ist der Schnitt davon eben entweder gleich X oder gleich a und niemals leer. Also gilt T3 nicht. zeige: T4 gilt: T4: Zu A, B Teilmengen von X und abgeschlossen und disjunkt gibt es disjunkte Umgebungen. Um A und B zu wählen, haben wir nur $\begin{eqnarray} \emptyset, X, \{b\} \end{eqnarray}$ zur Auswahl, da nur diese abgeschlossen sind. ( $\begin{eqnarray} \{b\} \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen, da $\begin{eqnarray} X/ \{b\}=\{a\} \end{eqnarray}$ offen ist.) Dabei ist die linke Seite dieser Implikation immer falsch, also die Implikation selbst immer wahr, also gilt T4. Die linke Seite ist immer falsch, da ich keine zwei nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen von X finde, die disjunkt sind. Denn die einzige Möglichkeit ist $\begin{eqnarray} \{b\}\cap X \neq \emptyset \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \{b\}\subset X \end{eqnarray}$ . Was meint ihr dazu?
04.12.2013, 00:08	Louis1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das passt natürlich. Ich habe gleich doppelt beim Aufgabenlesen gefailed. Wie du vielleicht siehst, ist mein Beispiel oben ein Raum mit T3 aber ohne T4. Wenn ich gelesen hätte, das endliche Räume gesucht sind, dann wäre mir wohl schnell aufgefallen, dass das nicht die gesuchte Eigenschaft ist (denn wie du oben schon bemerkt hast, geht das in endlichen Räumen nicht).
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04.12.2013, 09:56	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, vielen Dank dir für die Hilfe übrigens: wir hatten normal so definiert: "X ist normal genau dann wenn T4 und T1 gilt". (nur weil das oben mal zur Sprache kam..) lg

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