Differenzieren im Punkt x0

03.12.2013, 17:43

treda

Differenzieren im Punkt x0

Meine Frage:
Hallo,
ich habe eine Frage zur Differentialrechnung, und zwar lautet die Angabe:

"Ermittle f'(x0) wobei x0 = -1 und f: y = x³ + 1"

Meine Ideen:
Ich denke, ich habe das Prinzip verstanden, aber meine Tangentengleichung ist "y= 3x+3". Für das f'(x0) würde das ja dann 0 ergeben.
Wenn ich die Ableitungsregeln aber befolge, müsste da ja für die Tangentengleichung 3x² herauskommen. Entweder ist damit was anderes gemeint, oder ich habe irgendwo einen Fehler.

Danke für jede Hilfe!

03.12.2013, 17:56

Kasen75

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RE: Differenzieren im Punkt x0

Zitat:

Original von treda

Wenn ich die Ableitungsregeln aber befolge, müsste da ja für die Tangentengleichung 3x² herauskommen.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3x^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gleich -1 einsetzen und erhältst die Steigung der Tangente, was $\begin{eqnarray*} f'(x_0) \end{eqnarray*}$ entspricht.

Grüße.

03.12.2013, 18:04

treda

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Ich habe hiermit gearbeitet :
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x0 + \Delta x) - f(x0}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

und bin da auf y = 3x + 3 gekommen.

Wenn ich hier für $\begin{eqnarray*} (x0 + \Delta x) \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} (-1 + \Delta x)^3 \end{eqnarray*}$ einsetze und für x0 = -1, dann sollte 3x² als Ergebnis herauskommen?

mfg

03.12.2013, 18:34

Kasen75

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Ich schreibe es nochmal, formal richtig, auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(x_0+\Delta x)^3+1-(x_0^3+1) }{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt schon für $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gleich -1 einsetzt, dann steht da:

$\begin{eqnarray*} f'(1)=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{(-1+\Delta x)^3+1-((-1)^3+1) }{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss man $\begin{eqnarray*} (-1+\Delta x)^3 \end{eqnarray*}$ ausmultiplizieren und die Konstanten (+1,-1) heben sich auf. Danach kann man im Zähler edit: $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ausklammern. Danach dementsprechend den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ kürzen. Das Ergebnis ist dann 3 - die Steigung der Tangente an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0=-1 \end{eqnarray*}$

03.12.2013, 18:36

treda

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Achso! Genau das hatte ich ja schon, aber ich dachte, das Ergebnis, also 3, wird zum k der Ableitung. Also hab ich wohl die Aufgabenstellung nicht richtig verstanden, was da gesucht wurde.

Vielen Dank für deine Hilfe!

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