vollst. Induktion zu Ungleichung

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03.12.2013, 17:54	Lhurian	Auf diesen Beitrag antworten »
vollst. Induktion zu Ungleichung Meine Frage: Hallo, matheboard-Community, ich wüsste gerne, wie man per Induktion beweist, dass diese Aussage $\begin{eqnarray} \forall n\in \mathbb N :4^{n}>n^{4}(fuer \ n \geq 5) \end{eqnarray}$ allgemeingültig in N ist, weil ich bei dem Induktionsschritt nicht weiterkomme.. Vielen Dank im Voraus für Hilfe! Meine Ideen: Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray} A(n):4^{n}>n^{4} \end{eqnarray}$ Induktionsanfang: $\begin{eqnarray} A(5):4^{5}=1024>5^{4}=625 \ (wahr) \end{eqnarray}$ Nun von $\begin{eqnarray} A(n) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} A(n+1) \end{eqnarray}$ schließen (Induktionsschluss): $\begin{eqnarray} n=n+1; \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 4^{n+1}>(n+1)^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \widehat{=}4\cdot 4^{n}>k^{4}+4\cdot k^{3}+ 6\cdot k^{2}+4\cdot k+1 \end{eqnarray}$ Doch was nun?
03.12.2013, 18:11	Math²	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun suchst du dir eine Seite aus, bei der du anfängst und versuchst durch Abschätzen zu Zeigen, dass die eine Seite kleiner/größer als die andere ist. Du musst natürlich dabei die Induktionsvoraussetzung verwenden. Bei welcher Seite du anfängst, bleibt dir überlassen. Eine rein formale Frage: Wie hast du denn die k's aus dem Ärmel gezaubert? Du musst schon ein und denselben Parameter verwenden.
03.12.2013, 18:19	Lhurian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, da hast du recht! Aber zu deiner Hilfe: Ich weiß nicht, wie ich abzuschätzen habe und dabei die IV miteinbeziehen soll - kannst du das bitte schnell für mich machen, damit ich sehe, wie es geht?
03.12.2013, 18:21	Math²	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir geben keine Lösungen an! Es gibt nur Tipps. Du hast doch schon alles perfekt dafür vorbereitet die IV zu nutzen. Such dir eine Seite aus, mit der du anfangen willst und dann nutz direkt mal die IV.
03.12.2013, 21:21	Lhurian	Auf diesen Beitrag antworten »
LösungsVERSUCH Ist natürlich richtig, dass man kein Hausaufgaben-Löse-Forum hieraus macht, sondern versucht, die Leute schlauer zu machen bzw. sie vor allem dazu bringt, selbstständig Probleme zu lösen.. $\begin{eqnarray} \forall n\geq 5:n^{4}>4n^{3},n^{4}>6n^{2} \ und \ n^{4}>4n+1 \\<br /> \Rightarrow 4n^{4} >(n+1)^{4} \end{eqnarray}$ Ist das richtig? Ich verstehe selber nicht, warum ich deshalb sagen kann, dass $\begin{eqnarray} 4n^{4} >(n+1)^{4} \end{eqnarray}$ ist Das hab ich aus dem Internet - ich komm wahrlich nicht weiter..
03.12.2013, 21:38	Math²	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich stimmt das. Weil man praktisch alles unterteilt hat: $\begin{eqnarray} \text{1. } n^4 = n^4<br /> \text{2. } n^4 > 4 n^3<br /> \text{3. } n^4 > 6 n^2<br /> \text{4. } n^4 > 4n + 1<br /> <br /> 4 n^4 = n^4 + n^4 + n^4 + n^4 > \underbrace{n^4}_{= n ^4} + \underbrace{4 n^3}_{< n ^4} + \underbrace{6 n^2}_{< n ^4} + \underbrace{4 n + 1}_{< n ^4} = (n+1)^4 \end{eqnarray}$ Da jeder einzelne Term, die hier durch die geschweiften Klammern gekennzeichnet sind, kleiner oder gleich groß wie $\begin{eqnarray} n^4 \end{eqnarray}$ ist, sind natürlich auch alle 4 Terme in der Addition kleiner, als $\begin{eqnarray} 4 n^4 \end{eqnarray}$ . Ich denke, du hättest die Lösung auch alleine hinbekommen, aber okay. Ich kann dir auch noch bei einer eigenen Lösung helfen, die der hier nicht sehr viel ähnelt.
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03.12.2013, 22:10	Lhurian	Auf diesen Beitrag antworten »
Könnten wir das eventuell kleinschrittiger durchgehen, weil ich gerade nicht mal verstehe, warum k^4 betrachtet wird
03.12.2013, 22:23	Math²	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir beginnen bei deinem Ansatz oben auf der linken Seite: $\begin{eqnarray} 4 \cdot 4^n \end{eqnarray}$ Aus der IV folgt: $\begin{eqnarray} > 4n^4 = n^4 + n^4 + n^4 + n^4 \end{eqnarray}$ Und nun nutzen wir die 3 Abschätzungen (s. meinem vorigen Post). Aus diesem Post folgt: $\begin{eqnarray} 4 n^4 > (n+1)^4 \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} 4 \cdot 4^n > 4 n^4 \end{eqnarray}$ folgt aus beiden Ungleichungen: $\begin{eqnarray} 4 \cdot 4^n > 4 n^4 > (n+1)^4 \end{eqnarray}$ und daher $\begin{eqnarray} 4 \cdot 4^n > (n+1)^4 \end{eqnarray}$
03.12.2013, 23:15	Lhurian	Auf diesen Beitrag antworten »
danke Vielen Dank, Math²! Kann ich jetzt ein "q.e.d." drunterklatschen, wenn ich sonst alles gut durchkommentiert habe?
04.12.2013, 05:32	Math²	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem. Ja, das kannst du machen.

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