Durchschnitt nichtleerer, kompakter Teilmengen

03.12.2013, 19:03

Kääsee

Durchschnitt nichtleerer, kompakter Teilmengen

Guten Abend,
hier noch eine Problemaufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} K_j, j\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , nichtleere kompakte Teilmengen eines metrischen Raumes X, so dass $\begin{eqnarray*} K_{j+1}\subset K_j \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Man beweise, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \bigcap\nolimits_{j=0}^{\infty} K_j\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

Wenn ja gilt: $\begin{eqnarray*} K_{j+1}\subset K_j \end{eqnarray*}$ , dann ist der Schnitt dieser beiden Mengen $\begin{eqnarray*} K_{j+1} \end{eqnarray*}$ .
Das heißt, wenn ich beliebig viele Mengen habe, ist der Schnitt doch immer die "letzte" der Mengen, oder etwa nicht? Und diese ist nach Voraussetzung ja nichtleer...

Sollte es wirklich so einfach sein?

03.12.2013, 19:13

Guppi12

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Was soll denn die "letzte" Menge bei unendlich vielen Mengen sein?

Ich gebe dir mal ein Beispiel, wo man keine kompakten Mengen hat und der Schnitt leer ist, damit du die Problematik verstehst. Dann kannst du nochmal neu überlegen:

Sei $\begin{eqnarray*} K_j := (0, \frac{1}{j}) \end{eqnarray*}$ . Offenbar sind alle Voraussetzungen bis auf die Kompaktheit erfüllt.

Wenn man immer nur endliche viele nimmt, dann ist der Schnitt dieser Menge tatsächlich die "letzte" dieser Mengen also nich leer. Bei unendlich vielen gibt es das aber nicht. Der Schnitt ist hier leer.

03.12.2013, 19:26

Kääsee

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stimmt, du hast Recht unglücklich

Schade, es hätte so einfach sein können!
Nun gut, Kompaktheit heißt ja, dass jede offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ eine endliche Teilüberdeckung hat.
Kann ich damit etwas anfangen?

03.12.2013, 19:35

Guppi12

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Aber sicher Augenzwinkern

Probiere mal ein bisschen.

Edit: Ein Widerspruchsbeweis bietet sich übrigens an.

03.12.2013, 20:46

Kääsee

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RE: Durchschnitt nichtleerer, kompakter Teilmengen
Ok, ich hab so angefangen:
Annahme:
$\begin{eqnarray*} \bigcap\nolimits_{j=0}^{\infty} K_j= \emptyset \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} \left(\bigcap\nolimits_{j=0}^{\infty} K_j\right)^C=\bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} (X\setminus K_j)=X \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} (X\setminus K_j)=X \end{eqnarray*}$ ist also eine Überdeckung von X.
An dieser Stelle bin ich mir jetzt aber nicht mehr sicher...
Kann ich davon ausgehen, dass X kompakt ist? Dann würde ich nämlich weitermachen damit, dass auch eine endliche Teilüberdeckung existiert mit

$\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{n} (X\setminus K_j)=X \end{eqnarray*}$

Das Komplement davon, nämlich $\begin{eqnarray*} \bigcap\nolimits_{j=0}^{n} K_j \end{eqnarray*}$ ist also wieder die leere Menge

Und das steht zum Widerspruch, dass z.B. für n=1 $\begin{eqnarray*} K_1\subset K_0 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} K_1\cap K_0=K_1\neq \emptyset \end{eqnarray*}$

03.12.2013, 20:55

Guppi12

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Warum sollte X kompakt sein ?

Allerdings ist alles, was X überdeckt auch eine Überdeckung von allem was in X liegt.

03.12.2013, 21:11

Kääsee

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Zitat:

Original von Guppi12
Allerdings ist alles, was X überdeckt auch eine Überdeckung von allem was in X liegt.

Meinst du damit, dass X dann auch eine Überdeckung von

$\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} K_j \end{eqnarray*}$ ist? verwirrt

Oder worauf willst du hinaus? Ich drehe mich irgendwie im Kreis! Ich will ja nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ kompakt ist, das weiß ich ja schon^^

Und dass der Schnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist, gilt auch nur für endliche Schnitte, oder?

03.12.2013, 21:17

Guppi12

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Nein, der Schnitt unendlich vieler abgeschlossener Mengen ist auch abgeschlossen.

Ich meine dass diese Vereinigung oben auch eine Überdeckung von jeder Teilmenge von X ist. Du musst dir jetzt nur eine passende Teilmenge auswählen, bei der du die Überdeckungseigenschaft anwenden kannst.

03.12.2013, 21:28

Kääsee

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Zitat:

Original von Guppi12

Ich meine dass diese Vereinigung oben auch eine Überdeckung von jeder Teilmenge von X ist. Du musst dir jetzt nur eine passende Teilmenge auswählen, bei der du die Überdeckungseigenschaft anwenden kannst.

Genau das ist das Problem.
unglücklich

Würdest du mir helfen? Ich weiß überhaupt nicht recht, zu was ich gelangen will!

03.12.2013, 21:32

Guppi12

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Damit du die Überdeckungseigenschaft nutzen kannst, muss diese Teilmenge ja kompakt sein. Viel Auswahl gibt es da nicht ..

03.12.2013, 21:37

Kääsee

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ja, irgendein $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ ? Oder die Vereinigung aller?

03.12.2013, 21:38

Guppi12

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Versuchs mal mit $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

03.12.2013, 21:47

Kääsee

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Ich bin echt blöd. Ich komme nicht weiter!
Ok, dann hat $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ auch eine endliche Teilüberdeckung in X... Und jetzt?
Sorry, dass du dich so mit mir rumquälen musst!

03.12.2013, 21:50

Guppi12

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$\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} (X\setminus K_j) \end{eqnarray*}$ ist eine offene Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ ist kompakt, also ...

03.12.2013, 22:04

Kääsee

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also gibt es eine endlich Teilmenge von
$\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} (X\setminus K_j) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ überdeckt?

Gerade stehe ich richtig auf dem Schlauch!
Ich glaube, ich muss mir erst mal klar machen, was $\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} (X\setminus K_j) \end{eqnarray*}$ überhaupt ist!

Ist das nicht $\begin{eqnarray*} (X\setminus K_0) \cup (X\setminus K_1)\cup (X\setminus K_2)... \end{eqnarray*}$
Aber weil immer nur ein $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ rausfällt habe ich durch die Vereinigung am Ende ja doch wieder alle drin?! Obwohl das dann ja unendlich weiter geht...

03.12.2013, 22:13

Guppi12

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Zitat:

also gibt es eine endlich Teilmenge von
$\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} (X\setminus K_j) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ überdeckt?

Nein es gibt keine endliche Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \bigcup\nolimits_{j=0}^{\infty} (X\setminus K_j) \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ überdeckt.

Es gibt eine endliche Teilmenge $\begin{eqnarray*} T\subset \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \bigcup_{j\in T}(X\backslash K_j) \end{eqnarray*}$ eine Überdeckung von $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich glaube, du musst dir erst nochmal ganz genau die Definition von Kompaktheit durchlesen. Das ist schon ein ziemlich großer Unterschied.

Es ist also $\begin{eqnarray*} K_0 \subset \bigcup_{j\in T}(X\backslash K_j) = X \backslash \bigcap_{j\in T}K_j \end{eqnarray*}$ .

Auf das hintere kannst du jetzt das Argument mit der "letzten" Menge loslassen und das dadurch vereinfachen. Was fällt dir dann auf?

03.12.2013, 22:37

Kääsee

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Du hast recht, ich bin wirklich nicht richtig in dem Thema drin. Es überflutet mich im Moment einfach alles. Ich komme gar nicht mit dem Nacharbeiten hinterher!
Also $\begin{eqnarray*} K_0 \subset (X \backslash K_i) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ das "kleinste" bzw. "hinterste" $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ in T ist?

03.12.2013, 22:40

Guppi12

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Ja. $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ ist nicht leer. Also gibt es $\begin{eqnarray*} x\in K_i \end{eqnarray*}$ . Wo muss $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann noch liegen. Wo kann es nicht liegen?

03.12.2013, 22:53

Kääsee

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Da ja für j nur natürliche Zahlen zulässig sind, ist $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ ja das erste Element, also Obermenge von allen anderen $\begin{eqnarray*} K_j \end{eqnarray*}$ , somit auch von $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ . Das heißt, x liegt auch in $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ .
Ist das nicht schon ein Widerspruch dazu, dass $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von X ohne $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ ist?

03.12.2013, 22:55

Guppi12

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Richtig.

03.12.2013, 23:05

Kääsee

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Boar, vielen, vielen Dank!! Mit Zunge

04.12.2013, 17:11

Kääsee

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Und schon stecke ich wieder an der nächsten Teilaufgabe fest -.-

Seo $\begin{eqnarray*} S=\left\{K_i\right\}_{i\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Familie von nichtleeren kompakten Teilmengen eines metrischen Raumes X mit $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\in\mathbb N}K_i=\emptyset \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass dann eindlich viele Mengen $\begin{eqnarray*} K_1, ..., K_n \in S \end{eqnarray*}$ exisitieren, sodass $\begin{eqnarray*} K_1 \cap...\cap K_n=\emptyset \end{eqnarray*}$

So, der Anfang geht ja eigentlich genau so wie bei dem letzten Beweis. Ich komme dann wieder bis zu dem Punkt mit der Überdeckung von X.
Leider weiß ich nicht, wie es dann weiter geht, weil ich ja dieses Mal nicht gegeben habe, dass das Folgeglied Teilmenge vom Vorgängerglied ist...
Meine Idee wäre höchstens, dann irgendwie anzusetzten mit der Annahme, dass unendlich viele $\begin{eqnarray*} K_1,... \end{eqnarray*}$ existieren, so dass der Schnitt dieser die leere Menge ist.
Aber ist das nicht genau das, was eigentlich in der Voraussetzung steht? Also dass $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\in\mathbb N}K_i=\emptyset \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

Denn die natürlichen Zahlen sind doch unendlich!

04.12.2013, 20:15

Kääsee

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Kann mir niemand aus der Klemme helfen?
Ich versuche irgendwie mit Widerspruch zu argumentieren.
Also nehme ich an, dass kein n existiert, sodass $\begin{eqnarray*} K_1 \cap...\cap K_n=\emptyset \end{eqnarray*}$ , in der Schnittmenge ist also "immer etwas drin"
Es muss also noch ein oder mehrere $\begin{eqnarray*} K_i \end{eqnarray*}$ geben, die im Komplement liegen, sodass der Schnitt von allen diesen wieder leer ist (nach Voraussetzung).
Das Komplement ist $\begin{eqnarray*} (K_1 \cap...\cap K_n)^C=K_1^C \cup...\cup K_n^C=(X\setminus K_1) \cup...\cup (X\setminus K_n)=X\setminus(K_1 \cap...\cap K_n) \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Und bringt mir das was? traurig

05.12.2013, 12:58

Guppi12

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Du solltest für eine neue Anfrage grundsätzlich einen neuen Thread eröffnen.

Ich habe hier nicht mehr reingeguckt, weil der Thread für mich abgehakt war und andere gucken hier nicht rein, weil ich ihn bereits übernommen hatte.

Du kannst in den neuen Thread dann reinschreiben, was du schon aus der ersten Teilaufgabe zur Verfügung hast. Andere Möglichkeit ist, du schreibst in einen Thread gleich rein, dass es mehr als eine Teilaufgabe ist.

Aber gut, zu dieser Aufgabe: die kannst du eigentlich auf die von vorher zurückführen.

Definiere dir $\begin{eqnarray*} A_k := \bigcap_{l=1}^k K_l \end{eqnarray*}$ . Das sind dann als Schnitte kompakter Mengen auch kompakte Mengen.

Klar sein sollte, dass gilt $\begin{eqnarray*} \bigcap_{i\in\mathbb N}K_i = \bigcap_{i\in\mathbb N}A_i \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt für die $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ aber, dass $\begin{eqnarray*} A_{i+1}\subset A_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Aus der Kontraposition der ersten Aussage(die wir schon gezeigt haben) folgt jetzt was?

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