Unstetigkeitsstellen einer abschnittsweise def. Funktion

03.12.2013, 20:14

Eyelow

Unstetigkeitsstellen einer abschnittsweise def. Funktion

Hallo,

ich soll die folgende Funktion betrachten und beantworten, an welchen Stellen $\begin{eqnarray*} x\in R \end{eqnarray*}$ die Funktion f unstetig ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)= \begin{cases}<br /> \lfloor\frac{1}{x}\rfloor & x>0 \\<br /> 0 & x\leq 0 \\<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ in einer Gaußklammer steckt (Abrundung).

Habe nun diese Fkt. zur Veranschaulichung skizziert.
Laut Bedingung gilt ja für alle x kleinergleich 0, dass f(x)=0 ist. Also die ganze x-Achse von der Null aus nach links ist der Graph der Funktion. D.h. auf dieser Seite ist sie stetig, stimmts?

Aber für x>0 sieht man, dass für alle $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ f(x)=0 gilt. Nur im Bereich $\begin{eqnarray*} x\leq 1 \end{eqnarray*}$ kann es also zu Unstetigkeitsstellen kommen, richtig?

Somit würde ich den Bereich auf x>0 und x<1 einschränken. Aber weiter komme ich nicht.
Jemand ne Idee wie man weiter verfahren muss?

03.12.2013, 20:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist intervallweise konstant, d.h. im Innern all dieser Intervalle ist sie dann auch stetig. Unstetigkeitstellen sind also allenfalls die Randpunkte dieser Intervalle, und die gilt es zu identifizieren: Für positive ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = n \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} n\leq \frac{1}{x} < n+1 \end{eqnarray*}$ , umgestellt bedeutet dies $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} < x\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Damit sollte dann langsam klar sein, was die Unstetigkeitsstellen sind...

03.12.2013, 21:32

Eyelow

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erstmal.
Sorry, aber so ganz klar ist es mir noch nicht. Da ich nicht selber auf diese Begründung gekommen bin, kann ich das Ergebnis von dir nicht genau interpretieren.

Was haben die Randpunkte mit dem von dir Beschriebenen zu tun?
Was mache ich noch, um die exakten Stellen zu finden?

04.12.2013, 07:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja meine Güte, wenn du an der nunmehr ermittelten Funktionsdarstellung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} < x \leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = 3 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} < x \leq \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

allgemein $\begin{eqnarray*} f(x) = n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1} < x \leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

sowie ergänzend $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\leq 0 \end{eqnarray*}$

nicht erkennen kannst, wo die Sprungstellen sind, dann kann ich dir auch nicht mehr weiterhelfen. unglücklich

04.12.2013, 13:12

Eyelow

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist aber jemand aufgebracht. smile

Trotz deines herablassenden Tones möchte ich mich bedanken.

04.12.2013, 13:36

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch aufgebracht sein, wenn praktisch alles da steht, aber noch zig Fragen gestellt werden, weil Null mitgedacht wurde - das ist einfach nicht passend für eine im Hochschulbereich gestellte Frage.

04.12.2013, 14:02

Eyelow

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke schon, dass ich mitgedacht habe. Hättest du im ersten Beitrag meine Ideen gelesen, hättest du gemerkt, dass ich versucht habe mich damit zu befassen.

Dass sie für x kleinergleich 0 stetig ist, steht da. Dass sie ab x>1 nurnoch f(x)=0 liefert, steht auch da (jaja habe größergleich geschrieben). Und der Bereich in dem es Unstetigkeitsstellen gibt, ist auch nicht komplett falsch.

Ein Feedback dazu wie "Deine Ideen stimmen/stimmen nur teilweise/garnicht" wäre viel besser gewesen als das hinzuklatschen und zu erwarten, dass jeder ganz toll in Mathe sein und es "sehen" muss.

Erinnert mich an meinen Prof, der immer alles "gesehen" hat und nicht erkennen konnte, dass 90% der Studenten es eben nicht "sehen" können (zumal wir keine Mathematik-Studenten sind).

Neue Frage »

Antworten »

Unstetigkeitsstellen einer abschnittsweise def. Funktion

Verwandte Themen