Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck

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Bale Auf diesen Beitrag antworten »
Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Meine Frage:


Hallo zusammen

Folgende zwei Aufgaben machen mir Probleme und hoffe ihr könnt mir helfen.



Aufgabe 1:

Vom Trapez ABCD kennt man die parallelen Seiten a und c sowie die Höhe h.

Eine zu AB parallele Strecke p teilt das Trapez in zwei ähnliche Trapeze.

a) die Länge p

b) die Höhe des grösseres der beiden Trapeze


Aufgabe 2:

[attach]32286[/attach]

Die Strecke AP aus a = AB berechnen, dass gilt:

Rechteck APQD ~ Rechteck ABCD und Strecke AQ = Strecke BP.

Die Lösung ist AP = a/3



Besten Dank und einen schönen Abend! smile

Meine Ideen:
Aufgabe 1a:
Ich habe herausgefunden, dass p = ergibt, da p:a = c:p

Nun bin ich bei Teilaufgabe b) am verzweifeln, welche anscheinend nach Lösungsbuch a*h/a + ?ac, wie kommt man auf diese Lösung?

Aufgabe 2:
Hier habe ich probiert, das Dreieck APQD so zu drehen, dass die Form und Ausrichtung des Rechteckes ABCD entspricht. Leider kann ich gar keine Verhältnisse erkennen, die wie in Aufgabe 1a vorkommen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Du hast die Aufgabe dort schon gestellt: http://www.gute-mathe-fragen.de/70094/ah...ez-und-rechteck

Eigentlich müsste ich hier wegen Crossposting schließen.
Allerdings hast du dort noch keine Antwort erhalten.
Wenn du also dort schreiben würdest, dass du keine Hilfe mehr brauchst, weil du woanders fragst, würde ich den Thread hier offen lassen, damit du hier die Aufgabe besprechen kannst.

smile
 
 
Bale Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Ok, ich habe dies entsprechen vermerkt im Beitrag. Tut mir leid, ich wusste das gar nicht! smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Bei facebook hast du auch gepostet.
Und da ich dort kein Mitglied bin und nie sein werde, habe ich keine Ahnung, wie viel dir dort schon geholfen wird.

Crossposting wird in allen Foren nicht geduldet, da man nicht mehrere Helfer in verschiedenen Boards beschäftigen soll.

Aber mal zu Teil 1b)
Die Höhe des größeren Trapezes lässt sich entweder als Ausdruck der Höhe des kleineren Trapezes oder der Höhe des ursprünglichen Trapezes (edit: Wenn die Ähnlichkeit auch zu diesem besteht) darstellen.
Bale Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Nein, bei Facebook habe ich bestimmt nicht gepostet, es kann sein, dass die Seite automatisch Fragen auf ihrer Pinnwand posten, denn dort siehst du keinen Namen einer Person. Ach ja, es hat mit bis jetzt noch niemand geholfen, weder auf Facebook noch auf einer anderen Seite.

Ok, die Höhe des kleinen Trapezes ist nicht bekannt, also bleibt nur das Ursprüngliche.
Aber ehrlich gesagt weiss ich schon nicht mehr weiter. :/
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Hast du die vollständige Aufgabenstellung gepostet?
Das ist alles sehr knapp und kryptisch formuliert, so lautete die Aufgabe sicher nicht im Original.
Bale Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Das wesentliche ist enthalten, ausser dass ich beispielsweise "berechne.." weggelassen habe bei 1a und b.
So ist leider unser Mathebuch, aber gerne schreibe ich beide Aufgaben ganz ab:

Aufgabe 1:
Vom Trapez ABCD kennt man die parallelen Seiten a und c sowie die Höhe h.

Eine zu AB parallele Strecke p teilt das Trapez in zwei ähnliche Trapeze.
Berechnen Sie (<= das kam hinzu, ansonsten ist alles 1:1 übernommen)
a) die Länge p

b) die Höhe des grösseres der beiden Trapeze

Aufgabe 2:
Berechnen Sie die Strecke AP aus a = Strecke AB so, dass gilt:
Rechteck APQD ~ Rechteck ABCD und Strecke AQ = Strecke BP.

[attach]32288[/attach]

Das Bild habe ich selbsterstellt, aber entspricht dem in der Aufgabenstellung. Falls es nicht klar ist, Strecke AD zu PQ ist parallel. smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Danke.

Ich rechne gerade ein bisschen rum, muss noch ein wenig über die Aufgabe nachdenken.

smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ähnlichkeitsaufgaben im Trapez und Rechteck
Ich habe ein Problem bei der Aufgabe.
Zum einen sehe ich zwar, dass die beiden neuen Trapeze zueinandern ähnlich sein können.
Ich kann aber nicht sehen, dass sie zum ursprünglichen Trapez ähnlich sein können. Wie können wir also das ursprüngliche h in die Lösung bekommen?

Weiterhin kann ich die angegebene Lösung nicht nachvollziehen.

Steht da wirklich: ?

edit: ist die Höhe des größeren Trapezes
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, ich bin mit dem Formeleditor noch nicht so vertraut, dass ich eine gescheite Lösung posten konnte:


Die Frage hab' ich mir auch schon die ganze Zeit gestellt, wie das verflixte h noch in die Lösung hineinkommt.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich schaut doch ein Trapez so aus wie im bilderl.
dann hab´ich problemerl mit der aufgabe unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, das stimmt immerhin.
Du hattest die Klammer vergessen. Augenzwinkern

Dann wollen wir mal schauen, wie man auf diese Darstellung kommt.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von riwe
eigentlich schaut doch ein Trapez so aus wie im bilderl.
dann hab´ich problemerl mit der aufgabe unglücklich


Nicht nur du, Werner. Augenzwinkern

Ich habe mir mehrere rechtwinklige Trapeze gezeichnet, und tatsächlich stimmt die Formel für das h, welches in der Lösung angegeben wird.

Ich frage mich bloß, wie man drauf kommt. Da bin ich am rumprobieren und warte auf den Geistesblitz.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Îch denke, ich hab's.

Der Ansatz ist wohl:



Und

smile
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Gott bist du gut! Es ist scho schwer dies einmal zu erkennen, ich verstehs nun endlich. ^^ Vielen Dank! smile

Man, fehlt nur noch die andere Aufgabe.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mit 2) habe ich gerade begonnen.
Ich würde das nicht unbedingt drehen.

Da wir es hier u.a. mit der Diagonalen im Rechteck zu tun haben, denke ich auch an den Pythagoras.
Aber erst mal schauen, wie man da gut rangeht.

smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich solltest du auch mal eine Idee posten. Augenzwinkern

Ich denke inzwischen, dass wir ohne den Pythagoras auskommen.

Was kannst du über das Viereck PBCQ aussagen?

smile
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee mit dem Pythagoras habe ich mal soweit gerechnet wie möglich, eben halt nur soweit wie möglich bzw. es geht nicht mehr weiter. Habe es mit der Diagonalen AQ versucht.

Das Viereck PBCQ sieht so aus, als ob es das Doppelte wäre von APQD.

Meine Ideen entstehen leider alle auf dem Papier. ^^
Aber hier die Idee von oben:
Strecke AP = x, der rest der Strecke wäre dann a-x, in diesem Fall ist die Diagonale AP = a-x
Dann habe ich probiert die Strecke PQ auszurechnen bzw. eine Gleichung aufzuschreiben und irgendwo nochmals ein Dreickeck zu finden um eine Gleichung aufzustellen, welche ich dann beide gleichsetzen könnte.
Denn dann hätte ich die Bedingung AQ = BP erfüllt
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Idee ohne Pythagoras hatte einen Denkfehler, ich bin also wieder zurück bei ihm.
Die Quadrate sind allerdings auch nicht so schön. verwirrt

Das mit dem Viereck stimmt wohl, wenn man die Lösung kennt, ahnt man das ja auch. Augenzwinkern

Das sind Aufgaben, die etwas abseits vom gewöhnlichen Schema F sind, daher recht reizvoll.
Mal schauen, was mir noch so einfällt.

smile
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich habe mir auch schon Gedanken gemacht zum Höhensatz, aber die Voraussetzung ist, dass das Dreieck ABQ rechtwinklig wäre (im Bezug auf meine Überlegung weiter oben).
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, den Höhensatz hatte ich auch kurz an Wickel, aber wieder verworfen.

Von vorne komme ich nicht wirklich weiter, ich versuche jetzt mal ausgehend von der gegebenen Lösung auf das Verhältnis zu kommen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Bingo. smile Das Zauberwort heißt dritte binomische Formel.

Wobei ich doch auch wieder von vorne, also nicht von der gegebenen Lösung ausgehend, auf das Ergebnis gekommen bin.

Mal ein Tipp: Nenne die Strecken anders, z. B. x, y und z, und nicht AB, AP usw.

Und dann stelle mal die beiden Gleichungen auf, die du aufstellen kannst.
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mal ne Skizze gemacht, kann das so sein?

[attach]32300[/attach]
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das wird immer unübersichtlicher als einfacher. verwirrt

Ich entrümple mal deine Skizze und zeichne nur das, was nötig ist.
Das hat mir sehr geholfen.

[attach]32301[/attach]

Und jetzt schreibe mal 2 Gleichungen auf zu den Verhältnissen, die wir kennen.
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, es fällt mir echt schwer.

Ich denk mal x:a bzw. x:x+z wäre doch ein Ansatz?
Aber was ich mit dem Dreickeck und der entsprechenden Höhe y anfange soll, keine Ahnung.
Vielleicht kann auch y:a bzw. y:x+z etwas sein?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

y : (x+z)

Die Klammer muss unbedingt stehen, wenn du es so schreibst.



Wir beschreiben damit das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite im größeren Rechteck.
Was muss dann ein gleiches Verhältnis haben?
Was fehlt also auf der anderen Seite der Gleichung?


Die zweite Gleichung, die wir brauchen, ist der Pythagoras.

smile
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, die erste Gleichung ist:



und die zweite ist:



Stimmen diese? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sie stimmen. Freude

Ich würde die zweite Gleichung allerdings ohne Wurzel schreiben:

Und jetzt forme die erste Gleichung mal ein wenig um. Der Tipp wäre: Überkreuzmultiplikation.

smile
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

yay, es stimmt! Vielen Dank! smile )

Hier noch mein Lösungsweg, ich bin ein kleines bisschen abgewichen:









sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wunderbar. Freude

Es gibt natürlich verschiedene Möglichkeiten, das Gleichungssystem zu lösen und mein Weg war etwas anders. Augenzwinkern

smile
Bale Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe sulo! smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen, hat wirklich Spaß gemacht. smile

Wink
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