Parametrisierung Zylinder auf drei Arten |
| 03.12.2013, 21:41 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Parametrisierung Zylinder auf drei Arten ich will das Volumen eines Zylinders der Höhe h und Radius r bestimmen und zwar mit nur einem Parameter (also ich lege die anderen praktisch schon vorher fest). 3 Wege habe ich versucht, der dritte will nicht klappen und ich frage mich, wieso: 1. Ich staple kreisförmige Scheiben aufeinander, integriere also über die Höhe: in Ordnung! Jetzt will ich die Umfangsfläche von innen nach außen integrieren: auch ok! Jetzt würde ich gerne das Rechteck, das der Radius mit der Höhe aufspannt, einmal um die Achse drehen! Darf ich den Winkel vielleicht nur bis Pi integrieren? Wenn ja, warum? |
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| 04.12.2013, 09:34 | Racoon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß nicht so recht, WAS du da im dritten Teil berechnest. Aber jedenfalls ist das nicht richtig. Du musst doch den Zylinder um die Höhe rotieren. Dann erhältst du nach der Formel für Rotationskörper Und damit ist die Welt wieder in Ordnung. 
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| 04.12.2013, 10:27 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der oberen Integrationsgrenze habe ich mich verschrieben, sollte sein, nicht nur 2. Stell dir vor, du schneidest mit einem Messer bis zur Mittelachse des Zylinders. Dann durchschneidest du eine Fläche der Breite r und Höhe h. Jetzt legst du ganz viele dieser rechteckigen Scheiben (Flächeninhalt: r*h) nebeneinander und zwar wie viele? Jetzt stelle ich mir vor, ich halte eine solche Scheibe an einer Seite der Länge h fest und rotiere sie einmal um diese Achse. Dann kommt bei einer vollen Umdrehung mein Zylinder raus. Alle Punkte außen am Zylinder haben die Strecke abgefahren, also wieso nur von 0 bis Pi integrieren? Meiner Vorstellung nach müsste der Zylinder das gleiche Volumen haben wie ein Rechteck mit ebendieser Grundfläche r*h und der Länge 2 Pi Längeneinheiten. Das stimmt ja ganz offensichtlich nicht. Eine Idee: die äußeren Punkte bewegen sich zwar über eine Strecke von , die Punkte an der Innenseite (also an der Mittelachse) bewegen sich jedoch gar nicht, d.h. ich müsste den Mittelwert nehmen? Das wäre Pi... |
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| 04.12.2013, 10:36 | Racoon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du berechnest das Rotationsvolumen falsch! Wenn du das Rechteck mit den Seiten r und h um h rotierst, erhältst du deinen Zylinder. Diesen Zylinder schneidest du nun in Scheiben senkrecht zu h. Und diese Scheiben haben alle die gleiche Fläche Und diese Scheiben addierst du nun von 0 bis h auf. Fertig ist der Lack! |
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| 04.12.2013, 10:48 | laienstefan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja meine erste Variante und die klappt ja auch. Die zweite klappt auch! In dem Sinne ist das Stapeln der Kreisscheiben (Variante 1) nur ein Weg, natürlich der einfachste. Nummer 2 ist eine Alternative und klappt offensichtlich auch. Aber wieso nicht die dritte? |
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| 04.12.2013, 11:55 | Racoon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So wird aber nicht integriert! |
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| 04.12.2013, 12:40 | Racoon | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielleicht noch eine Ergänzung: wenn dein "Verfahren" anwendet und über die Winkel integriert, dann kriegst du doch keine Scheiben, sondern "Tortenstücke" deren Grundfläche in Näherung einem Dreieck gleicht. Und ein Dreick hat eben nun mal nur die Hälfte der Fläche, des entsprechenden Rechtecks. Daher kommt ein Faktor 1/2 hinzu. Und dann stimmt die Sache wieder. Aber wie schon gesagt, das ist nicht die Formel für ein Rotationsvolumen. Meine o.a. Begründung ist heuristisch. Dass man dein Verfahren so anwenden kann, das müsste man erst mal beweisen bzw. mit entsprechenden Sätzen begründen. |
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