Kompakter Operator und schwache Konvergenz

03.12.2013, 22:15	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakter Operator und schwache Konvergenz Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} T \in \mathcal{L}(X,Y) \end{eqnarray}$ (stetig linearer Operator) und $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ Banachräume. Zu zeigen ist: Ist eine Folge $\begin{eqnarray} (x_n) \subset X \end{eqnarray}$ schwach konvergent gegen ein $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ dann folgt, dass die Folge $\begin{eqnarray} (Tx_n) \subset Y \end{eqnarray}$ stark konvergent ist und gegen $\begin{eqnarray} Tx \end{eqnarray}$ konvergiert. Meine Ideen: Ich weiß, $\begin{eqnarray} x_n \overset{\sigma}{\rightarrow} x \Longrightarrow Tx_n \overset{\sigma}{\rightarrow} Tx \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \overset{\sigma}{\rightarrow} \end{eqnarray}$ ist schwache konvergenz) Ebenfalls weiß ich aus der Kompaktheit von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ , dass es eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (Tx_{n_k}) \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} (Tx_n) \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} Tx_{n_k} \rightarrow y \in Y \end{eqnarray}$ , also eine Teilfolge die stark konvergiert. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwertes der schwachen Konvergenz, und da aus starker Konvergenz die schwache folgt, gilt $\begin{eqnarray} y=Tx \end{eqnarray}$ . Meine Fragen: Jetzt weiß ich zwar, dass es eine stark konvergente Teilfolge gibt. Jedoch liefert mir die Kompaktheit nur die Existenz einer konvergenten Teilfolge, es könnte ja auch noch eine andere geben die nicht konvergiert, oder was übersehe ich?
03.12.2013, 22:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kompakter Operator und schwache Konvergenz Aber auch jede Teilfolge von $\begin{eqnarray} (Tx_n) \end{eqnarray}$ hat wiederum eine Teilfolge, welche gegen $\begin{eqnarray} Tx \end{eqnarray}$ konvergiert.
03.12.2013, 22:35	DerJFK	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir auch gerade aufgefallen, dass ich von der Teilfolge ja wieder eine Teilfolge wählen kann. Und wegen der Kompaktheit konvergieren diese gegen $\begin{eqnarray} Tx \end{eqnarray}$ . Annahme: $\begin{eqnarray} (Tx_n) \end{eqnarray}$ konvergiert nicht gegen $\begin{eqnarray} Tx \end{eqnarray}$ . Es gibt also eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (Tx_{n_l}) \end{eqnarray}$ welche von $\begin{eqnarray} Tx \end{eqnarray}$ weg beschränkt ist $\begin{eqnarray} \\| Tx_{n_l} - Tx \\| > \varepsilon \end{eqnarray}$ . Die Folge $\begin{eqnarray} (Tx_{n_l}) \end{eqnarray}$ muss aber wegen der Kompaktheit von $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ wieder eine konvergente Teilfolge besitzen, welche wegen der Eindeutigkeit des schwachen Grenzwerts wieder gegen $\begin{eqnarray} Tx \end{eqnarray}$ konvergiert und somit ist der Widerspruch da und es folgt: $\begin{eqnarray} (Tx_n) \rightarrow Tx \end{eqnarray}$ EDIT: Danke für die schnelle Antwort

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