Dichte von ZV Y:=log(X)

04.12.2013, 18:23

SHHLPA

Dichte von ZV Y:=log(X)

Mal eine hoffentlich nicht zu dumme Frage..
Angenommen eine Zufallsvariable X hat eine Verteilung mit der Dichte f.
Nun bilde ich eine neue Zufallsvariable Y:=log(X).
Kann man dann im allgemeinen irgendwie die die Dichte von Y bestimmen? Wenn ja, was sind die Schritte hierfür. Wenn nein, was benötigt man noch dazu?

Ich hoffe ihr könnt mir etwas dazu sagen.
Freundliche Grüße

03.02.2014, 16:15

lars87

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RE: Dichte von ZV Y:=log(X)
Hi,
Stichwort Transformationssatz: http://de.wikipedia.org/wiki/Transformationssatz

Deine Dichte hat positiven Traeger, sonst ist die Transformation nicht definiert, also $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x) I_{\{x>0\}}(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich benutze mal die Konventionen aus obigem Artikel, damit es schneller nachzuvollziehen ist.

Sei also $\begin{eqnarray*} g=g(y) \end{eqnarray*}$ die Dichte von $\begin{eqnarray*} Y=\Phi^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} x\mapsto \log(x) \end{eqnarray*}$ und besitzt die Umkehrabbildung $\begin{eqnarray*} \Phi: z\mapsto e^z \end{eqnarray*}$ .
Dann hast Du

$\begin{eqnarray*} P(-\infty<Y\leq y) = P(0<X \leq e^y) = \int_0^{e^y} f(x) dx \end{eqnarray*}$

und mit dem Trafosatz

$\begin{eqnarray*} \int_0^{e^y} f(x) dx = \int_{\Phi((-\infty,y))}f(x) dx \overset{\text{Trafo}}{=} \int_{({-\infty},y)} f(\Phi(x))|\Phi'(x)| dx = \int_{-\infty}^y f(\Phi(x))|\Phi'(x)| dx = \int_{-\infty}^y f(e^x) e^x dx \end{eqnarray*}$ .

Daraus kannst du ablesen, dass Y die Dichte $\begin{eqnarray*} g(y) = f(e^y) e^y \end{eqnarray*}$ besitzt.

Algemeiner kannst du sagen: Wenn man eine (mehrdimensionale) stetig verteilte Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X=(X_1,\ldots,X_d) \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x_1,\ldots,x_d)I_{D}(x) \end{eqnarray*}$ hat, so besitzt die transformierte ZV $\begin{eqnarray*} Y=h(X) \end{eqnarray*}$ die Dichte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} g(y_1,\ldots,y_d)=f(h^{-1}(y_1),\ldots,h^{-1}(y_d) |Jh^{-1}(y)| I_W(y) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} Jh^{-1} \end{eqnarray*}$ die Jacobi-Determinante von $\begin{eqnarray*} h^{-1} \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ der Traeger von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} W=h(D) \end{eqnarray*}$ der Traeger von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ist.

Natuerlich musst du Differenzierbarkeit haben, aber das lass ich hier mal weg.

Viele Gruesse,

Lars

03.02.2014, 17:28

HAL 9000

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In einfachen Fällen wie hier kann man es sich auch ohne Trafosatz ganz gut so klarmachen, und zwar von hier ab fortgesetzt:

Zitat:

Original von lars87
Dann hast Du

$\begin{eqnarray*} P(-\infty<Y\leq y) = P(0<X \leq e^y) \end{eqnarray*}$

Mit Verteilungsfunktionen geschrieben also

$\begin{eqnarray*} F_Y(y) = F_X(e^y)-F_X(0) = F_X(e^y) \end{eqnarray*}$ .

Nun einfach nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ableiten (unter Beachtung der Kettenregel) ergibt die Dichte

$\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{\dd}{\dd y} F_X(e^y) = F_X'(e^y)\cdot \frac{\dd}{\dd y} e^y = f_X(e^y)\cdot e^y \end{eqnarray*}$ .

Ist vielleicht auch etwas weniger abschreckend, da die Frage in der Schulmathematik gestellt wurde. Augenzwinkern

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