Zahlenfolge: Formel herleiten

04.12.2013, 20:38

SDF

Zahlenfolge: Formel herleiten

Meine Frage:

Ich habe mir mal 2 Folgen ausgedacht, die der Fibonacci-Reihe ähneln, beide bilden sich folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} f_{i}= 2f_{i-2} + f_{i-1} \end{eqnarray*}$

Die erste hat die Startwerte:

$\begin{eqnarray*} f_{0}= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{1}= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{2}= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{3}= 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{4}= 5 \end{eqnarray*}$

usw.

Die zweite hat die Startwerte:

$\begin{eqnarray*} f_{0}= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{1}= 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{2}= 7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{3}= 17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{4}= 31 \end{eqnarray*}$

usw.

Habt ihr eine Idee, wie man nun eine nur von i abhängige Formel für die Folgeglieder entwickeln kann?

Meine Ideen:

Bei der Fibonacci-Reihe gibt es ja z.B. die Formel von Moivre-Binet...

04.12.2013, 20:49

SDF

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Ist, glaub ich, falsch bei Schulmathematik, wie kann man den Thread verschieben?

04.12.2013, 21:10

10001000Nick1

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Guck mal hier.
Da steht in Kapitel 6, wie man die Formel für die Fibonacci-Zahlen herleitet. Genauso kannst du das jetzt auf deine Folge übertragen.

Sehe ich das richtig, dass deine beiden Folgen dieselbe rekursive Vorschrift haben, nur mit unterschiedlichen Startwerten?

Für die erste Folge habe ich folgende Formel berechnet: $\begin{eqnarray*} f_i=-\frac{1}{3}\cdot (-1)^{i}+\frac{1}{3}\cdot 2^i \end{eqnarray*}$ und per vollständiger Induktion bewiesen.

04.12.2013, 22:07

SDF

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Sehe ich das richtig, dass deine beiden Folgen dieselbe rekursive Vorschrift haben, nur mit unterschiedlichen Startwerten?

Genau.

Zitat:

Original von 10001000Nick1Für die erste Folge habe ich folgende Formel berechnet: $\begin{eqnarray*} f_i=-\frac{1}{3}\cdot (-1)^{i}+\frac{1}{3}\cdot 2^i \end{eqnarray*}$ und per vollständiger Induktion bewiesen.

Das stimmt auf jeden Fall schon mal, danke. Augenzwinkern

Aber kannst Du mir noch mal zeigen, wie Du die Formel hergeleitet hast. Ich verstehe nämlich nicht ganz, in wie weit man die Herleitung der Fibonacci-Formel nutzen kann... verwirrt

04.12.2013, 22:22

10001000Nick1

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Dort wurde ja der Ansatz $\begin{eqnarray*} f(n)=x^n \end{eqnarray*}$ gemacht. Das benutzen wir hier auch. Laut deiner rekursiven Vorschrift ist dann $\begin{eqnarray*} x^n=x^{n-1}+2x^{n-2}. \end{eqnarray*}$
Man dividiert dann durch $\begin{eqnarray*} x^{n-2}, \end{eqnarray*}$ und erhält dann $\begin{eqnarray*} x^2=x+2. \end{eqnarray*}$ Die Lösungen dieser Gleichung sind dann $\begin{eqnarray*} x_1=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=2. \end{eqnarray*}$

Also hat man jetzt $\begin{eqnarray*} f(n)=a_1(-1)^n+a_22^n. \end{eqnarray*}$
Da muss man jetzt noch die beiden Faktoren $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Das macht man genauso wie bei der Fibonacci-Formel mithilfe eines Gleichungssystems.
$\begin{eqnarray*} f(0)=a_1+a_2=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(1)=-a_1+2a_2=1. \end{eqnarray*}$

Wenn man das jetzt löst, kommt man auf $\begin{eqnarray*} a_1=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_2=\frac{1}{3}. \end{eqnarray*}$

05.12.2013, 16:18

SDF

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Aaaahh, danke, jetzt hab ich's endlich verstanden. smile

Also gilt für die zweite Folge:

$\begin{eqnarray*} f_{i} = -1*(-1)^{i} + 2*2^{i} = (-1)^{i+1} + 2^{i+1} \end{eqnarray*}$

06.12.2013, 22:36

SDF

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RE: Zahlenfolge: Formel herleiten
Eine neue Folge und ich komme wieder nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} f_{i}=4*f_{i-1} -1 \end{eqnarray*}$

Startwerte:

$\begin{eqnarray*} f_{0}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{1}=4*1 -1=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_{2}=4*3 -1=11 \end{eqnarray*}$

Der einzige Unterschied ist ja eigentlich, dass sie sich nur auf ein voriges Folgeglied bezieht, ist das ein Problem?
Mit der beschriebenen Methode komme ich auf jeden Fall nicht weiter...

Oder hab ich einfach ein Brett vor'm Kopf?

07.12.2013, 14:05

10001000Nick1

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Ich habe das ganze mal bei Wolframalpha eingeben, da kommt dann raus: $\begin{eqnarray*} f_i=\frac{1}{3}\left(2^{2i+1}+1\right). \end{eqnarray*}$
Scheint auch zu stimmen (jedenfalls für die ersten Werte), das kann man noch mit Induktion beweisen.

Ich weiß nur nicht, wie man diese Formel herleiten kann. verwirrt

Mich stört das "-1" am Ende der rekursiven Vorschrift.

07.12.2013, 15:07

SDF

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Also ich habe nach einigem Überlegen diese Formel herausbekommen:

$\begin{eqnarray*} f_{i} =f_{i-1}*4-1=(f_{i-2}*4-1)*4-1=((((f_{i-i}*4-1)*4-1)*4-1)...)*4-1=((((1*4-1)*4-1)*4-1)...)*4-1=4^{i}-4^{i-1} -4^{i-2}-...-4^{i-i}= 4^{i}-(4^{i-1} +4^{i-2}+...+4^{i-i}) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt nach der Formel für die Summe der Viererpotenzen [(4^(n+1)-1)/3; n ist in diesem Fall n=i-1]:

$\begin{eqnarray*} f_{i} = 4^{i}-(\frac{4^{i}-1}{3}) \end{eqnarray*}$

07.12.2013, 15:12

SDF

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Was ja das gleiche ist, wie deine Formel.

07.12.2013, 15:17

10001000Nick1

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Ja, da kommt das Gleiche raus.

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