Art der Definitionslücke bestimmen

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123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »
Art der Definitionslücke bestimmen
Meine Frage:
Hi,

und schon das nächste Problem. Die Aufgabe:

Bestimmen Sie die Art der Definitionslücken und eventuelle Nullstellen von fa in Abhängigkeit des Parameters a.


Die Funktion:




Meine Ideen:
Meine Idee:

Ich habe zuerst die Zähler- und Nennernullstelle bestimmt.

ZNST: x1 = 1 und x2 = -1
NNST: x1 = 2a

Anschließend habe ich die ganzen Fälle angeschaut:

a = 0,5
a = -0,5
a Element R ohne 0,5 und -0,5 (heißt bei uns Bonusfall)


Jetzt soll ich die Art der Def-Lücke bestimmen und weiß nicht mehr, wie es weitergeht. Ich weiß, dass es stetig behebbare, Pol mit und ohne VZW gibt. Nur welche wann gelten, ist mir ein Rätsel. Vielfachheit ungerade = mit VZW, Vielfachheit gerade ohne VZW, stetig behebbare, wenn Zähler und Nenner gleich sind?

Vielen Dank für die Hilfe :-)
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Du testest die jetzt einfach durch bzw hier musst du teilweise auch rechnen.

Fangen wir mit der hebbaren Def.-lücke an.

1. hebbare Definitionslücke: Es muss gelten Nennernullstelle gleich der Zählernullstelle. Weißt du wie du da vorzugehen hast?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, leider nicht.
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Hm okay. Deine Zählernullstellen sind x1=1 und x2=-1. Deine Nennernullstelle ist x0=2a (nicht sonderlich sinvoll der NNST dieselbe Bezeichnung wie der ZNST zu geben, daher hab ich sie mal umgenannt).

Nun ist die Frage: Wann ist die NNST gleich der ZNST?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a = plus bzw. -0,5 ist.
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Genau und genau dann gibt es eine hebbare Definitionslücke. Das schreibst du nun noch mathematisch auf mit einem kleinen Rechenweg und damit ist der 1.Fall erledigt.

Okay alles klar bis hierhin?
 
 
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau muss ich das dann hinschreiben?

Wenn ich den 1. Fall betrachte:

2a = 1 --> a = 0,5 --> stetig behebbare Def-Lücke, weil ......
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst auch noch eine Begründung dahinter machen. Aber theoretisch sehe ich das nicht für notwendig. Warum es so ist, folgt umgehend aus dem Unterricht. Das ist wie wenn du erklärst, wie du eine Nullstelle berechnest und warum dann die Nullstelle bei x1=1 ist. Ich sehe es nicht für nötig, wenn du es trotzdem machen willst, kannst du auch gerne eine kurze Erklärung anfügen, in der steht, weil dann die Nullstelle gleich der Definitionslücke ist.

Du würdest das praktisch so aufschreiben:

123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben hier aufgeschrieben:

2a = 1 --> a = 0,5 --> stetig behebbar bei x= 1 , einfache Nullstelle bei x = -1

Das mit der Nullstelle verstehe ich nicht, darum habe ich nach dem ,,wenn....." gefragt :-)
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

1. hebbare Def.-lücke:

1. Fall:

Ja, wenn a=0,5 ist, dann ist deine hebbare Def.-Lücke - wie du richtig erkannt hast - bei 1. Das liegt daran, dass es eine ZNST bei x1=1 gibt und eine NNST bei x1=1. Genau daher ist es eine hebbare Def.-Lücke. Nun ist aber oben noch eine "normale Nullstelle". Da es aber keine NNST bei x2=-1 gibt, ist das eine einfache Nullstelle.

So viel zum ersten Fall.

2. Fall:

Nun kann aber auch 2a=-1, weil es eben 2 NNST gibt. Und dafür gibt es eben die von mir erwähnte zweite Lösung a=-0,5. Wenn du jetzt mitgedacht hast, weißt du auch was in dem 2. Fall x=1 ist. Weißt du es?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, es zu verstehen.




Setze ich jetzt für a = 0,5 ein, so bekomme ich ja im Zähler und Nenner das Gleiche.


Hast du dies gemeint?
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das auf meine Frage beziehst nicht ganz Augenzwinkern Aber deine Aussage stimmt.

Dann hast du eine NNST, die gleich einer ZNST ist. Daher hast du in diesem Wert eine hebbare Def.-Lücke. Da aber genauso die zweite ZNST gleich der NNST sein kann, gibt es noch eine zweite Möglichkeit für eine hebbare Def.lücke.

Hast du eine Idee wie man auf die 2te Möglichkeit kommen könnte?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte jetzt halt für a noch -0,5 eingesetzt, dann bekomme ich die andere :-)

Das ist aber wahrscheinlich nicht das Gesuchte :-)
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Doch natürlich. Du musst mehr Vertrauen in deine Fähigkeiten haben Augenzwinkern

Was ist nun in diesem Fall x1=1?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

a = 0,5 --> stetig behebbar bei x=1
a = -0,5 --> stetig behebbar bei x = -1


In beiden Fällen ist dann die Vielfachheit der NST einfach, da wir ja einmal kürzen?
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

*Definitionslücke

Das muss schon hinter "behebbar(e)" kommen.

Ja, aber die Vielfachheit brauchst du ja dann nicht mehr.

Nebenbei: was ist dann im Punkt x1=1, wenn a=-0,5?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Pol mit Vorzeichenwechsel, da der Exponent ungerade ist?
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Weil es nicht mal eine Definitionslücke ist.

Also nochmal folgendes dazu:

Der folgende Abschnitt bezieht sich nur auf Polynomfunktionen im Nenner und Zähler.

Allgemein gilt bei diesen:

ZNST: Nullstelle
NNST: Definitonslücke/Pol

Ausnahme ist hierbei wenn eine ZNST = NNST. Dann ist dort eine hebbare Definitionslücke. Also eine ZNST kann nur in diesem Fall eine Definitionslücke sein.

Wenn du nur eine NNST hast, gibt es auch nur eine Definitionslücke/Pol geben. Die Anzahl der NNST sagt dir, wie viele Def.-Lücken/Pole die Funktion hat. Die Anzahl der ZNST sagt dir, wie viel Nullstellen die Funktion MAXIMAL haben kann. Das 2 ZNST nicht dazu führt, dass es auch 2 Nullstellen gibt, siehst du an unserem Beispiel für a=0,5/-0,5. Da ist nämlich eine ZNST keine Nullstelle. Die andere ist trotzdem eine Nullstelle.

Schau dir das ganze mal grafisch an (damit du mal ein bisschen Leben hinter die an sich abstrakten Arten der Definitionslücke bekommst):

Polstelle mit VZW (anklicken)

Polstelle ohne VZW
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hätte ich nur noch eine Frage:

Wie läuft es dann bei meinem Bonusfall mit der Bestimmung der Art der Def-Lücke ab?

Dieser war ja:

a Element R ohne 0,5 und -0,5 ?
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dahin kommen wir jetzt.

Diesen Fall musst du zwingend auch betrachten in deiner Aufgabenlösung. Du hast bisweilen nur geklärt, was passiert, wenn a=0,5 oder a=-0,5. Nun ist die Frage: Was passiert in x=2a, wenn ist. Dass da keine hebbare Def.-Lücke vorliegt, folgt aus dem, dass wir gezeigt haben, dass es nur bei den beiden a's eine gibt. Das heißt, es bleibt die Frage: Polstelle mit oder ohne VZW?

Hast du dazu eine Idee?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, leider nicht :-)

unglücklich
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Am Anfang hattest du aber diesbezüglich eine Idee:

Es gibt 2 geläufige Möglichkeiten:

1. Du näherst x von beiden Seiten an die Polstelle und schaust, ob sich das Vorzeichen wechselt.
2. Du schaust dir die Vielfachheit/Ordnung der NNST an.

Das 2. geht deutlich schneller, aber ich empfinde das Erste als "mathematisch eleganter". Aber du kannst dir gerne aussuchen, wie du es machst. Ich hab gesehen, dass ihr es mit der 2ten Möglichkeit macht oder?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir machen es mit den Vielfachheiten, nur habe ich nicht verstanden, wie der das in der Schule gemacht hat?
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ganz einfach:

Weißt du denn was Vielfachheiten sind?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Damit wird angegeben, ob ein Punkt nur berüht oder geschnitten wird?
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Okay meine Frage war ungenau: Weißt du, wie man eine Vielfachheit bestimmen kann?
123-michi19 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt nicht.
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich gerade nicht am PC bin und daher Latex schreiben sehr aufwendig ist, post ich mal einen Link, in dem, wie ich finde, es sehr gut vom User Leopold erklärt wurde:

Gute Erklärung (anklicken)

Wenn du zu der Erklärung noch fragen hast, frag ruhig. Im Falle, dass ihr noch keine Ableitungen hattet, ignorier den Absatz einfach.
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