Länge eines Vektors berechnen

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04.12.2013, 21:20	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Länge eines Vektors berechnen Meine Frage: Hi, wie lässt sich denn die Länge eines Vektors im R3 berechnen? Meine Ideen: Keine Idee :-)
04.12.2013, 21:27	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Klassisch mit dem Pythagoras $\begin{eqnarray} \\|\vec v\\|=\sqrt{x_v^2+y_v^2+z_v^2} \end{eqnarray}$ Überleg dir mal den Grund dafür: ein Vektor hat eine x-,y- und z-Komponente. x-und y-Komponente bilden in der x-y-Ebene ein rechtwinkliges Dreieck, d.h. $\begin{eqnarray} d^2=x_v^2+y_v^2 \end{eqnarray}$ . Auf diesem d steht nun die z-Komponente senkrecht, bildet also wieder ein Dreieck. Der Vektor ist nun die Hypotenuse in diesem Dreieck, es gilt also $\begin{eqnarray} \\|\vec v\\|=\sqrt{d^2+z_v^2}=\sqrt{x_v^2+y_v^2+z_v^2} \end{eqnarray}$ Oder habt ihr die Länge von Vektoren über das Skalarprodukt eingeführt? In diesem Fall gilt $\begin{eqnarray} \\|\vec v\\|=\sqrt{\langle\vec v,\vec v\rangle}=\sqrt{x_v\cdot x_v+y_v\cdot y_v+z_v\cdot z_v}=\sqrt{x_v^2+y_v^2+z_v^2} \end{eqnarray}$ lg kgV
04.12.2013, 21:31	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon einmal hierfür. Könntest du mir bitte noch erklären, wie das mit der Vektoraddition und Vektorsubraktion funktioniert und bei welcher Aufgabenstellung ich das anwenden muss?
04.12.2013, 21:37	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren werden komponentenweise addiert: $\begin{eqnarray} \vec v=(x_v,y_v,z_v),\vec w=(x_w+y_w+z_w)\Rightarrow \vec v+\vec w=(x_v+x_w,y_v+y_w,z_v+z_w) \end{eqnarray}$ und ebenso subtrahiert: denk dir einfach statt der Plus ein paar Minus, dann hast du die Subtraktion Anzuwenden geht das quasi überall: wenn du einen resultierenden Vektor ermitteln musst zum Beispiel, oder wenn du Vektorzüge auswerten musst (eine Kette von Vektoren, die mit der Spitze am Schaft des vorigen hängen), wenn du etwas von einem Punkt in einen anderen verschieben musst etc. - es gibt enorm viele Anwendungsbereiche (Es ist quasi wie mit dem "normalen" Plus: wann muss man Zahlen addieren? )
04.12.2013, 21:45	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Formulierung wie so eine Aufgabenstellung lautet, hast du nicht zufällig parat
04.12.2013, 21:54	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, es könnte heißen: wie lautet der Vektor $\begin{eqnarray} \vec c=3\vec a+2\vec b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec a =(-1,2,3),\vec b=(0,2,-1) \end{eqnarray}$ ? oder: Wohin wird der Punkt $\begin{eqnarray} P=(1,2,5) \end{eqnarray}$ durch den Vektor $\begin{eqnarray} \vec u=(5,4,-8) \end{eqnarray}$ verschoben? oder: Berechne den aus $\begin{eqnarray} \vec v=(-2,3,4) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec w=(-1,5,-1) \end{eqnarray}$ resultierenden Vektor Aber das sind nur ein paar Beispiele: es gibt wie erwähnt einen nahezu unendlichen Anwendungsbereich der Vektoraddition. Genauso wie die Addition von Zahlen zum Grundhandwerk der Mathematik gehört, gehört die Addition von Vektoren zu den Basics der Vektorgeometrie
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04.12.2013, 21:59	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechne den aus $\begin{eqnarray} \vec v=(-2,3,4) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec w=(-1,5,-1) \end{eqnarray}$ resultierenden Vektor Das wäre dann der Pythagoras? Wohin wird der Punkt $\begin{eqnarray} P=(1,2,5) \end{eqnarray}$ durch den Vektor $\begin{eqnarray} \vec u=(5,4,-8) \end{eqnarray}$ verschoben? Addition wie lautet der Vektor $\begin{eqnarray} \vec c=3\vec a+2\vec b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec a =(-1,2,3),\vec b=(0,2,-1) \end{eqnarray}$ ? ???
04.12.2013, 22:10	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe 1: Nein, Addition der Vektoren: wenn beide Vektoren an einem Punkt angreifen, ist der daraus resultierende Vektor die Summe der beiden. Stell dir vor, zwei Menschen ziehen an einem Gegenstand, beide in eine bestimmte Richtung. Dann bewegt sich der Gegenstand in eine Richtung, der von der Zugrichtung abhängig ist - das ist die Summe der beiden Zugkräfte, auch resultierende Kraft genannt Aufgabe 2: Jap Aufgabe 3: auch hier Addition, zuerst halt den Vektor skalar mit dem jeweiligen Faktor multiplizieren (oder $\begin{eqnarray} 3\vec a+2\vec b=\vec a+\vec a+\vec a+\vec b+\vec b \end{eqnarray}$ berechnen)
04.12.2013, 22:12	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe
04.12.2013, 22:15	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen Hier noch die Lösungen (falls du es mal berechnen willst): wie lautet der Vektor $\begin{eqnarray} \vec c=3\vec a+2\vec b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \vec a =(-1,2,3),\vec b=(0,2,-1) \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \vec c=(-3,10,7) \end{eqnarray}$ Wohin wird der Punkt $\begin{eqnarray} P=(1,2,5) \end{eqnarray}$ durch den Vektor $\begin{eqnarray} \vec u=(5,4,-8) \end{eqnarray}$ verschoben? $\begin{eqnarray} P'=(6,6,-3) \end{eqnarray}$ Berechne den aus $\begin{eqnarray} \vec v=(-2,3,4) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec w=(-1,5,-1) \end{eqnarray}$ resultierenden Vektor $\begin{eqnarray} \vec r=(-3,8,3) \end{eqnarray}$
04.12.2013, 22:18	123-michi19	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich nebenbei schon versucht. Komme auf die gleichen Lösungen
04.12.2013, 22:19	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann passt das ja wunderbar

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