Inverse einer Matrix bestimmen mit Parameter

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04.12.2013, 21:47	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse einer Matrix bestimmen mit Parameter Hallo, ich brauche eine kleine Denkhilfe zu folgender Aufage: Ich habe eine relativ einfach Matrix A gegeben: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & a & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aufgabe: Bestimmen Sie alle a (Element aus R), für die die Matrix A invertierbar ist. Ich habe als Ansatz einfach die Matrix A neben die Einheitsmatrix geschrieben, um die Inverse auszurechnen und hoffte, dass ich eine Lösung für a bekäme... $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & a & 7 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Durch Umformungen (Gauß-Verfahren) kam ich bis: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & \frac{5}{4} \\ 0 & a & 7 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ (Ich habe einfach der Spalten nach hin zur Einheitsmatrix umgeformt). Mein Problem liegt nun darin, dass ich nicht vernüftig weiter machen kann, da ich ja an der Stelle a auch eine Null brauche. Frage: Kann man durch a teilen, wenn man a ungleich 0 erklärt? Oder wie kann man sonst noch klug vorgehen. Danke für die Hilfe.
04.12.2013, 21:52	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt einen einfacheren Weg: Was weißt du denn über die Determinante einer invertierbaren Matrix? Berechne einfach die Determinante von A, und wende dann dieses Wissen an.
04.12.2013, 21:58	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß, dass es eine Inverse erst überhaubt gibt, wenn die Determinante von A ungleich 0 ist. D.h. quasi, ich berechne die Determinante und gucke dann, was man für a einsetzen kann, damit das Ergebnis der Determinante nicht Null wird???
04.12.2013, 21:58	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so machst du das.
04.12.2013, 22:00	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank.
04.12.2013, 22:08	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Juhuu, ich habe 56 raus und bei der Gegenprobe kommt dann bei der Rechnung auch 0 raus, d.h. für a=56 gibt es keine Inverse )) Ist das denn auch wirklich die einzige Lösung?
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04.12.2013, 22:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du denn auf a=56?
04.12.2013, 22:15	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Determinate in Abhängigkeit von a ausgerechnet und nach allen Zusammenfassungen hatte ich -3a+168 da raus. Das habe ich dann gleich 0 gesetzt und dann kommt für a 56 raus. Zur Kontrolle habe ich das dann in meine erste, ausführliche Aufdröselung der Determinatenberechnung eingesetzt und da kam 0 raus. Kann natürlich sein, dass ich mich bei dem ganzen Kram irgendwo vertan hab und ne falsche Determinante aufgeschrieben hab. Ist das Ergebnis unlogisch, dann rechne ich nochmal nach...
04.12.2013, 22:18	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hatte mich tatsächlich verlesen. Korrigiere a=28
04.12.2013, 22:23	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du denn die Determinante berechnet? Ich komme da auf was anderes.
04.12.2013, 22:32	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 1det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & 7 \end{pmatrix}-2det\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} + 3det\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 0 & a \end{pmatrix} + 4* det\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} -5det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & a \end{pmatrix} -adet\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix} + 7det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}<br /> <br /> (Die beiden Stellen in der Matrix, wo eine Null steht, habe ich nicht mit aufgeschrieben).<br /> <br /> -> 28+7a+28-5a-5a+28 -> 84=3a -> a=28 \end{eqnarray}$ Ich habe es so gelernt. Studiere im 1. Semester und hatte Determinanten leider nicht in der Schule (( Was mache ich dann falsch?
04.12.2013, 22:33	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll das der Laplace-Entwicklungssatz sein?
04.12.2013, 22:38	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das wüsste. Mir wurde sowas gesagt wie: Determinanten von 2x2 Matrizen sind einfach zu bilden und die von z.B. 3x3 Matrizen entwickelt man nach diesem Prinzip.
04.12.2013, 22:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer 3 $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ 3-Matrix gibt es zwei einfache Möglichkeiten, die Determinante zu berechnen: Die Regel von Sarrus und den Laplaceschen Entwicklungssatz. Guck dir mal diese beiden Links an. Beim Laplaceschen Entwicklungssatz ist auch ein Beispiel dabei. Bei deiner Matrix bietet es sich an, den Laplace-Entwicklungssatz zu benutzen. Wenn du dir das durchgelesen hast, können wir das nochmal durchrechnen.
04.12.2013, 23:01	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich habe nun auf jeden Fall verstanden, was ich falsch gemacht habe. Ich habe einfach alle Werte aus der Matrix irgendwie versucht in meiner Rechnung unterzubringen. Da in der ersten Spalte so viele Nullen stehen, kann ich sinnvoller Weise diese für den Entwicklungssatz nehmen? Dann hätte ich nur eine Determinante dort stehen. Ich versuche es nochmal: $\begin{eqnarray} 1det\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ a & 7 \end{vmatrix} <br /> <br /> -> 28+5a -> 28=-5a \end{eqnarray*}$
04.12.2013, 23:05	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
So sollte es aussehen: $\begin{eqnarray} 1det\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ a & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bis dahin hast du alles richtig gemacht. Man sollte da immer eine Zeile/Spalte mit möglichst vielen Nullen nehmen. Aber dann hast du irgendeinen Fehler bei der Berechnung der Determinante der $\begin{eqnarray} 2\times 2 \end{eqnarray*}$ -Matrix gemacht. Überprüf das noch mal. Edit: Ich sehe gerade, dass du deinen letzten Beitrag nochmal editiert hast. Jetzt sieht es schon besser aus, du hast nur noch einen Vorzeichenfehler.
04.12.2013, 23:23	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muss natürlich 28-5a sein... !!! Vorzeichenfehler
04.12.2013, 23:24	AnnaFelicia	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, jetzt hatte ich die Antwort erst gelesen, da habe ich den Vorzeichenfehler doch noch selbst gesehen Cool, danke für den ganzen Aufwand
04.12.2013, 23:24	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Wenn man jetzt $\begin{eqnarray} 28-5a=0 \end{eqnarray}$ nach a umstellt, erhält man $\begin{eqnarray} a=\frac{28}{5}=5,6. \end{eqnarray}$ Für diesen Wert von a ist die Matrix A also nicht invertierbar.

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