.tex Datei normal lesen können |
| 05.12.2013, 00:04 | neeulingg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| .tex Datei normal lesen können habe eine .tex datei und weiß nicht wie ich das umformatiere um es lesen zu können Meine Ideen: Habs auf der Seite in Latex gesetzt, hat nicht geklappt. ;/ |
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| 05.12.2013, 00:26 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dazu musst du sie kompilieren. Das machst du entweder auf deinem PC (wenn du eine LaTeX-Distribution und einen Editor installiert hast oder alternativ hier online 
Am Ende hast du dann ein normales pdf-File lg kgV 
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| 05.12.2013, 00:52 | neeulingg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für den Tipp leider hat das mit der Online Page nicht geklappt. Ich habe jetzt einfach mal die Datei gepostet. Vielleicht klappt das ja auch nicht, ich würde nich wissen wie man das sieht. aber es ist halt ein Uni Dokument aus dem I-net gezogen. \newcommand{\doctitle}{Lineare Algebra 1 vom 27.11.2008} \include{header} \section*{Trigonalisierung} \begin{defi} Ein Endomorphismus $F: V \ra V, \dim(V) < \infty$ ist trigonalisierbar, wenn $\exists$ Basis $\B$ von $V$, sodass $$M_\B(F) = \left( \begin{array}{rrr} x & y & z\\ 0 & y_2 & z_2\\ 0 & 0 & z_3 \end{array} \right)$$ (d.h. unterhalb der Diagonale Null) \end{defi} \begin{defi} Eine aufsteigende Kette $V_0 \subset V_1 \subset V_2 \subset \dots \subset V_n$ von UVR von $V$, mit $\dim(V_i) = i \forall i = 0, \dots, n$ heißt Fahne. $$(\Ra V_0 = \{0\}, V_n = V)$$ \end{defi} \begin{defi} Sei $F: V \ra V$ ein Endomorphismus. Eine Fahne $\{v_i\}$ ist $F$-invariant, wenn $F(V_i) \subset V_i \forall i$ \end{defi} \begin{lem} $F$ ist trigonalisierbar $\LRa \exists F$-invariante Fahne. \end{lem} \begin{proof}[Beweis] "$\Ra$") $\exists$ Basis $\B = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ von $V$, sodass $M_\B(F)$ trigonal. $$V_i \ce \langle v_1, \dots, v_i\rangle \Ra \{v_i\} \text{ ist eine Fahne}$$ Zu zeigen: Die Fahne ist $F$-invariant: $$1 \leq j \leq i, F(v_j) \in \langle v_1, \dots, v_i\rangle$$ % F % V ----------------------> V % ^ ^ % | | % \phi_\B komm. \phi_\B komm. % K^n --------------------> K^n % M_\B(F) % \[ \begin{diagram} \node{V} \arrow{e,t}{F} \node{V}\\ \node{K^n} \arrow{n,t}{\phi_\B \cong} \arrow{e,t}{M_\B(F)} \node{K^n} \arrow{n,t}{\phi_\B \cong} \end{diagram} \] $$\phi_\B(e_j) = v_j$$ $$F(v_j) = F \phi_\B(e_j) = \phi_\B M_\B(F)(e_j) = \phi_\B(\left( \begin{array}{rrr} x & y & z\\ 0 & y_2 & z_2\\ 0 & 0 & z_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{r} 0\\ \vdots\\ 0\\ 1\\ 0\\ \vdots\\ 0 \end{array} \right))\text{ j-te Zeile}$$ $$= \phi_\B(\sum_{k=1}^i a_{kj} e_k) = \sum_{k=1}^i a_{kj} \phi_\B(e_k) = \sum_{k=1}^i a_{kj} v_k$$ "$\Leftarrow$") $\{v_i\}$ $F$-invariante Fahne. Wähle eine Basis $\{v_1\}$ für $V_1$. Ergänze zu einer Basis $\{v_1, v_2\}$ für $V_2$. etc.\\ $\Ra$ Basis $\B = \{v_1, \dots, v_n\}$ für $V_n = V$. $M_\B(F)$ ist trigonal. \end{proof} \begin{satz} $F$ ist trigonalisierbar $\LRa$ charakteristische Polynom $P_F(t)$ zerfällt in Linearfaktoren \end{satz} \begin{proof}[Beweis] "$\Ra$") $\exists$ Basis $\B$ von $V$, $$M_\B(F) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & * & * & *\\ 0 & a_{22} & * & *\\ 0 & 0 & \ddots & *\\ 0 & 0 & 0 & a_{nn} \end{array} \right)$$ $$P_F(t) = \det(\left( \begin{array}{cccc} a_{11}-t & * & * & *\\ 0 & a_{22}-t & * & *\\ 0 & 0 & \ddots & *\\ 0 & 0 & 0 & a_{nn}-t \end{array} \right)) = (a_{11}-t) \cdot \dots \cdot (a_{nn}-t)$$ "$\Leftarrow$") $P_F$ zerfalle in Linearfaktoren.\\ Idee: \begin{enumerate} \item Wähle $\lambda_1$ EW mit EV $v_1$, Setze $V_1 \ce \langle v_1\rangle$ \item $V = V_1 \varoplus W$ \item Definiere $G = $ Projektion von $F$ auf $W$ \item $\lambda_2$ Eigenwert von $G$ mit Eigenvektor $w_2$, $V_2 \ce \langle v_1, w_2\rangle$ \end{enumerate} Führen wir diese also durch:\np Induktion nach $n$.\\ Für $n=1 : M_\B(F)$ trigonal für jede Basis $\B$.\\ Sei $\lambda_1$ ein Eigenwert von $F$ und $v_1$ ein Eigenvektor zu $\lambda_1$. $V_1 \ce \langle v_1\rangle$\\ Ergänze $\{v_1\}$ zu einer Basis $\B = \{v_1, w_2, \dots, w_n\}$ von $V$. $$W \ce \langle\{w_2, \dots, w_n\}\rangle \Ra V = V_1 \varoplus W$$ Definition: $$G : W \ra W : w \in W, F(w) = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 w_2 + \dots + \alpha_n w_n$$ $$G(w) \ce \alpha_2 w_2 + \dots + \alpha_n w_n \in W, G \text{ ist linear }$$ $$H : W \ra V_1, H(w) \ce \alpha_1 v_1 \Ra H \text{ linear}$$ $$M_\B(F) = \left( \begin{array}{r|r} \lambda_1 & *\\ 0 & B\\ 0 & B\\ \vdots & B\\ 0 & B \end{array} \right)$$ $$B = M_{\B-\{v_1\}}(G)$$ $$\underbrace{P_F(t)}_{\text{zerfällt in Lin.faktoren}} = (\lambda_1-t) \cdot \det(B-tI_{n-1}) = (\lambda_1-t) \cdot P_G(t)$$ $$\Ra P(G) \text{ zerfällt auch in Linearfaktoren}$$ Induktionsannahme $\Ra$ $$\exists G\text{-invariante Fahne } \{W_i\} \text{ in } W \text{ (Lemma)}$$ Setze: $$(V_1 = \langle v_1\rangle)$$ $$(V_{i+1} \ce V_i \varoplus W_i \Ra \{V_i\} \text{ ist eine Fahne}$$ $\{V_i\}$ ist $F$-invariant: $$v \in V_{i+1} \Ra v = \alpha v_1 + w_i, w_i \in W_i, \alpha \in K$$ $$F(v) = \alpha F(v_1) + F(w_i) = \underbrace{\alpha \lambda_1 v_1 + \underbrace{H(w_i)}_{\in V_1}}_{\in V_1} + \underbrace{G(w_i)}_{\in W_i (G-\text{invarianz})}$$ \end{proof} \begin{cor} Über $K = \C$ ist jeder Endomorphismus trigonalisierbar. \end{cor} \begin{proof}[Beweis] Über $\C$ zerfällt das charakteristische Polynom in Linearfaktoren laut Fundamentalsatz der Algebra. \end{proof} \section*{Jordansche Normalenform} \begin{defi} Eine quadratische Matrix der Gestalt $$\left( \begin{array}{cccccc} \lambda & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \lambda & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{array} \right)$$ heißt Jordan-Matrix. \end{defi} \begin{defi} Eine Matrix ist in Jordanscher Normalform, wenn sie von der Form $$\left( \begin{array}{cccccc} J_1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & J_2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & J_3 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & J_n \end{array} \right)$$ ist, wobei die $J_i$ Jordan-Matrizen sind. \end{defi} \paragraph{Beispiel:} $$\left( \begin{array}{rrrrrr} 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 15 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 15 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 15 \end{array} \right)$$ ist in Jordanscher Normalenform (JNF). $$\left( \begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)$$ ist in JNF $$\left( \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 4 \end{array} \right)$$ ist nicht in JNF. \begin{satz} $F : V \overset{\text{lin.}}{\ra} V$, $V$ über $K, \dim(V) < \infty$. Zerfällt $P_F$ in Linearfaktoren, dann $\exists$ Basis $\B$ von $V$, sodass $M_\B(F)$ in JNF ist. \end{satz} \begin{cor} Über $\C$ kann jede quadratische Matrix durch Basiswechsel in JNF transformiert werden. \end{cor} \paragraph{Anwendung:} Berechnung von $e^A$, $A$ quadratische Matrix (über $\C$)? $$e_x = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} x^k$$ \begin{defi} Eine Folge $A_1, A_2, \dots$ von Matrizen konvergiert gegen eine Matrix $A$, wenn $\forall (i,j)$ die Folge der $(i,j)$-Einträge gegen den $(i,j)$ von $A$ konvergiert. Die Reihe $\sum_{k=0}^\infty A_k$ konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen $A_0, A_0+A_1, A_0+A_1+A_2, \dots$ konvergiert.\\ \end{defi} \begin{defi} $$e^A \ce \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k$$ (konvergiert für jede Matrix $A$) \end{defi} \begin{enumerate} \item $S \cdot \sum_{k=0}^\infty A_k = \sum_{k=0}^\infty S \cdot A_k$ und $(\sum^\infty A_k) \cdot S = (\sum^\infty A_k \cdot S)$ \item $S \cdot e^A \cdot S^{-1} = e^{S A S^{-1}}$ da $S e^A S^{-1} = S (\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} A^k) S^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} S \cdot A^k \cdot S^{-1} = \sum \frac{1}{k!} (S A S^{-1})^k = e^{S A S^{-1}}$ \item Wenn $AB = BA \Ra e^A \cdot e^B = e^{A+B}$ \end{enumerate} Außerdem: $D$ Diagonalmatrix. $e^D = ?$. $D = \diag(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$. $$e^D = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \left( \begin{array}{ccc} \lambda_1 & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \lambda_n \end{array} \right)^k = \sum \frac{1}{k!} \left( \begin{array}{ccc} \lambda_1^k & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \lambda_n^k \end{array} \right)$$ $$= \left( \begin{array}{ccc} \sum \frac{1}{k!} \lambda_1^k & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & \sum \frac{1}{k!} \lambda_n^k \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} e^{\lambda_1} & 0 & 0\\ 0 & \ddots & 0\\ 0 & 0 & e^{\lambda_n} \end{array} \right)$$ \end{document} |
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| 05.12.2013, 01:21 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Anscheinend fehlt dir die Datei header.tex , die sicher eine ganze Reihe wichtiger Festlegungen enthält: Den normalen Header, womöglich die Umgebungsdefinitionen für defi, lem, proof usw. Diese Datei solltest du dir also noch besorgen! |
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