Endomorphismus und darstellende Matrix

05.12.2013, 10:16

Knurpel

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Endomorphismus und darstellende Matrix

Meine Frage:
Sei [Latex] L: V \Rightarrow V [\Latex] ein Endomorphismus von V. Wir definieren det L := detL_{B1} , wo L_{B1} := L_{B1B1} die Darstellende Matrix von L bezüglich der Basis B_{1} von V ist.

(i)
Zeigen sie, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Basis ist.

(ii)
Wieviele Injektive aber nichtsurjektive lineare Abbildungen von R^3 nach R^3 kann man definieren? Wieviele nichtinjektive aber surjektive Abbildungen? Begründen Sie ihre Antwort mit Hilfe der Determinante und der Dimensionsformel für lineare Abbildungen.

Meine Ideen:
Also, fangen wir mal mit (i) an.
Die Abbildung ist ein Endomorphismus, also linear.
Wenn wir für B_{1} die Standartbasis nehmen, wäre die darstellende Matrix dazu die Einheitsmatrix, oder?
Und jetzt soll ich zeigen, dass, egal welche Basis ich benutze, immer dieselbe Determinante herauskommt, sehe ich das richtig?
Wie gehe ich da vor, wenn ich die Abbildungsvorschrift nicht kenne?

05.12.2013, 11:01

RavenOnJ

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RE: Endomorphismus und darstellende Matrix
Mal etwas schöner geschrieben:

Zitat:

Original von Knurpel
Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} L: V \to V \end{eqnarray*}$ ein Endomorphismus von V. Wir definieren $\begin{eqnarray*} \det L := \det L_{B_1} \end{eqnarray*}$ , wo $\begin{eqnarray*} L_{B1} := L_{B_1 B_1} \end{eqnarray*}$ die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ soll offenbar ein Vektorraum sein. Die Abbildung ist also linear, wie du schon geschrieben hast.

Zitat:

Wenn wir für $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ die Standartbasis nehmen, wäre die darstellende Matrix dazu die Einheitsmatrix, oder?

Es heißt übrigens "Standard".

Warum sollte die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Einheitsmatrix sein? Wie du richtig schriebst, ist die Abbildung nicht spezifiziert.

Du könntest ja mal einen Basiswechsel vornehmen. Es soll im Urbildraum und im Zielraum dieselbe Basis benutzt werden.

05.12.2013, 11:51

Knurpel

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Hmmm....
Das mit der Einheitsmatrix war ein Denkfehler meinerseits....

Wie genau meinst du das, einen Basiswechsel vornehmen?
Da die Abbildung ja nicht spezifiziert ist, kann ja auch nichts ausrechnen...ich kann doch nur schreiben:

$\begin{eqnarray*} L_{B'1} := L_{B'1B'1} \end{eqnarray*}$
und det $\begin{eqnarray*} L_{B'1} = det L \end{eqnarray*}$

Und dabei fällt mir auf, mir ist gar nicht recht klar, was mit detL gemeint ist.
Die Determinante der Matrix, die ich erhalte, wenn ich die Funktion auf die Basis anwende?

05.12.2013, 13:13

RavenOnJ

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Mit $\begin{eqnarray*} \det L : = \det L_{B_1} \end{eqnarray*}$ ist die Determinante der darstellenden Matrix gemeint. Es soll gezeigt werden, dass dies bei einem Endomorphismus eine Invariante unter Basiswechsel ist. Dies kann man dadurch verdeutlichen, dass man die Nennung der Basis einfach weglässt.

Die Darstellung einer Abbildung durch eine Matrix hängt von der Basis im Urbildraum und im Zielraum ab. Wechselt man eine der beiden Basen (oder beide), dann verändert sich auch die darstellende Matrix. Ich nehme mal an, ihr habt das Thema Basiswechsel in der Vorlesung schon behandelt?!?
Wenn nicht, dann lies dir am Besten mal den wikipedia-Artikel zum Basisw
echsel durch. Es taucht dort dies auf:

$\begin{eqnarray*} M_{B'}^{A'}(f)=T_{B'}^B\cdot M_B^A(f)\cdot T_A^{A'} \end{eqnarray*}$

In deinem Fall lässt sich das vereinfachen zu (ich habe die Basen mal umbenannt):

$\begin{eqnarray*} M_{B_2}^{B_2}(L)=T_{B_2}^{B_1}\cdot M_{B_1}^{B_1}(L)\cdot T_{B_1}^{B_2} \quad, \end{eqnarray*}$

da in deiner Aufgabe die Basen in Urbild- und Zielraum übereinstimmen sollen. Es geht jetzt darum, die Determinante

$\begin{eqnarray*} \det(L_{B_2 B_2}) := \det(M_{B_2}^{B_2}(L)) \end{eqnarray*}$

aus der Determinante

$\begin{eqnarray*} \det(L_{B_1 B_1}) := \det(M_{B_1}^{B_1}(L)) \end{eqnarray*}$

herzuleiten. Dazu muss man nur wissen, in welcher Beziehung $\begin{eqnarray*} T_{B_2}^{B_1} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} T_{B_1}^{B_2} \end{eqnarray*}$ steht. Und man muss die Formel für Determinanten von Produkten von Matrizen kennen.

05.12.2013, 13:35

Knurpel

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Ah, ich glaube jetzt hat klick gemacht.

Also:

$\begin{eqnarray*} det \left[M\right]_{B2}^{B2} = det( \left[T\right]_{B1}^{B2} * \left[M\right]_{B1}^{B1} * \left[T\right]_{B2}^{B1} \end{eqnarray*}$

Wegen des Determinantenproduktsatzes gilt:

$\begin{eqnarray*} ...=det ( \left[T\right]_{B1}^{B2} * \left[T\right]_{B2}^{B1}) * det \left[M\right]_{B1}^{B1} \end{eqnarray*}$

Da die Transformationsamtrizen T(B1-B2) * T(B2-B1) die Einheitsmatrix ergeben, ist ihre Determinante 1. Darais folgt dann:

$\begin{eqnarray*} det \left[M\right]_{B2}^{B2} = det \left[M\right]_{B1}^{B1} \end{eqnarray*}$

05.12.2013, 13:39

RavenOnJ

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Freude

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05.12.2013, 13:44

RavenOnJ

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Diese Aussage ist aber zumindest missverständlich:

Zitat:

Original von Knurpel
...

Da die Transformationsamtrizen T(B1-B2) * T(B2-B1) die Einheitsmatrix ergeben, ist ihre Determinante 1.

Ich denke, ich weiß, was du meinst, du solltest das aber anders formulieren. Beispielsweise so: Da die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} T_{B_1}^{B_2} \end{eqnarray*}$ das Inverse der Matrix $\begin{eqnarray*} T_{B_2}^{B_1} \end{eqnarray*}$ ist, ist ihr Produkt die Einheitsmatrix. usw.

05.12.2013, 13:46

Knurpel

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Ja, alles klar.
Viele Dank für die Hilfe smile

smile

05.12.2013, 13:47

RavenOnJ

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Bitte, gern geschehen! (ii) ist klar?

05.12.2013, 14:03

Knurpel

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Oh, nein. Die hatte ich ganz vergessen o.o
Injektivität, Surjektivität fällt mir immer sehr schwer...
Vor allem wenn man solche allgemeinen Abbildungen betrachtet.

Also, da steht ja, wir sollen die Determinante benutzen.
Dass heißt, wir wissen, dass, wenn die Determinante ungleich null ist,
der Rang einer Matrix gleich n ist, weil die Spalten linear unabhängig sind.
Dass muss ich sicher benutzen....nur weiß ich nicht wie... unglücklich

unglücklich

05.12.2013, 14:07

RavenOnJ

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Mach dir mal klar, was es bedeutet, wenn die Determinante 0 ist. Was das für den Bildraum bedeutet im Bezug auf den Gesamtraum bzw. für die Dimension des Bildraumes.

05.12.2013, 14:56

Knurpel

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Alsoi, wenn die Determinante Null ist,
dann gilt
Rang A < n , wobei A die darstellende Matrix der Funktion ist.
Wie mir das genau hilft, weiß ich aber nicht.

Allerdings hilft mir auf jeden Fall:
wenn gilt.
detA=0
Kern A $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ {0}

und da gilt: f ist Injektiv, wenn Kern(f)=0, folgt daraus, dass
wenn detA=0 ist die lineare Abbildung nicht Injektiv ist.
Und ich meine mich zu erinnern, dass unser Tutor mal gesagt hat,
bei linearen Abbildungen treten injektivität und surjektivität gleichzeitig auf...
dann wäre sie auch nicht surjektiv....bin aber nicht sicher, ob ich mich da nicht vlt. irre.

05.12.2013, 15:14

RavenOnJ

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Das ist alles richtig! Jetzt müsstest du aber die richtigen Schlüsse daraus ziehen können. Du sollst ja auch noch den Dimensionssatz benutzen, also
$\begin{eqnarray*} \dim (V) = \dim(\ker L) + \dim(\operatorname{im}(L)) \end{eqnarray*}$
Da das Image $\begin{eqnarray*} \operatorname{im}(L) \end{eqnarray*}$ hier wiederum in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ liegt, sollte der Rest relativ klar sein.

Zitat:

...,bei linearen Abbildungen treten injektivität und surjektivität gleichzeitig auf.

Dies gilt nur, wenn Urbildraum und Zielraum dieselbe Dimension haben. Sollte eigentlich klar sein aus der Dimensionsformel und einfachen Überlegungen. Beispielsweise kann eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ natürlich nicht surjektiv sein. Und eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R^3\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ kann nicht injektiv sein.

05.12.2013, 17:05

Knurpel

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Hmmm....
Ne, mir ists noch nicht klar Freude

Freude

Also, dass das Bild in V liegt, sagt mir doch nur, dass dim(im(L)) </= dim(V) ist, oder?

Das heißt, wenn dim(im(L)) = dim V ist, ist dim(ker L) = 0
Und daraus folgt dann, das det(L) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ = und das die Abbildung V Injektiv ist. Und da von V nach V abgebildet wird, also beide dieselbe Dimension haben, auch surjektiv.

Wenn dim(im(L)) < dim(V), dann ist dim(kern L) < 0, und damit ist
det L = 0.
Aber ist die Abbildung dann surjektiv?

05.12.2013, 17:14

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Knurpel
Wenn dim(im(L)) < dim(V), dann ist dim(kern L) < 0, und damit ist
det L = 0.
Aber ist die Abbildung dann surjektiv?

Ich nehme mal an, du meinst $\begin{eqnarray*} \dim(\operatorname{im}(L)) < \dim(V)\Rightarrow \dim(\ker L) {\color{green}>} 0 \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} \dim(\operatorname{im}(L)) < \dim(V) \end{eqnarray*}$ , dann kann die Abbildung nicht surjektiv sein, da dann $\begin{eqnarray*} \operatorname{im}(L) \end{eqnarray*}$ ein echter Unterraum von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist.

05.12.2013, 17:43

Knurpel

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Ja, das meinte ich.

Also wäre die Antwort auf die Frage (ii): Keine!

Denn die Dimension des Kerns kann ja nur 0 oder >0 sein.
Und für dim(Kern)=0 ergibt sich ja wie gesagt injektivität und surjektivität

Und für dim(Kern)>0 ergibt sich erstens: nicht Injektiv, da der Kern mehr als 1 Element enthält, und nicht surjektiv, da dim(im(L)) < dim(V)

Und so ist das dann doch fertig, oder habe ich etwas vergessen?

05.12.2013, 17:52

RavenOnJ

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Alles vollständig Freude

Freude

05.12.2013, 17:57

Knurpel

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Super! Da macht dann Mathe glatt wieder Spaß smile

smile

05.12.2013, 18:52

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Knurpel
Super! Da macht dann Mathe glatt wieder Spaß smile

smile

Na, das hoffe ich!

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