Minimum und Maximum

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Baumbjörn Auf diesen Beitrag antworten »
Minimum und Maximum
Juhu, ich hab mal eine Frage.
Und zwar stellt sich mir folgende (für erfahrene Mathematiker möglicherweise triviale) Aufgabe:

"Sei A (Teilmenge) R eine nichtleere, endliche Teilmenge von R. Zeigen Sie, dass
A ein kleinstes und ein großtes Element enthalt, d.h. es existieren xmin € A und
xmax € A, so dass xmin </= x </= xmax fur alle  x € A."

Ich hoffe, dass trotz Kopierverlusten die Aufgabe klar geworden ist... Meine Intuition sagt mir, dass ganz einfach durch die Vorbedingung, nämlich dass A endlich ist, dass daraus bereits notwendig folgt, dass die Grenzen existieren, denn sonst wäre die Menge doch nicht endlich. Wenn sie endlich ist, muss es genau eine untere/ obere Schranke geben, die Teil der Menge ist und würde man auf diese ein beliebig kleines e aufaddieren, man ausserhalb der Menge wäre. Könnte man vielleicht den Ansatz wählen und indirekt zeigen, dass wenn A keine obere oder untere Schranke besitzt, es keine endliche Menge seien würde? Wenn ja- wie? smile
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt spontan nur vollständige Induktion ein, aber wer einen schöneren Lösungsweg hat, darf diesen gerne mitteilen.
Causal Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

versuch es doch mit einem Widerspruchsbeweis. Angenommen besitzt kein Maximum (Minimum müsste analog funktionieren)...

Gruß
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

@Donquixote: Wieso ist die vollständige Induktion kein schöner Lösungsweg? Die Aufgabe ist dafür fast prädestiniert.
Und schon bin ich wieder raus. smile
Baumbjörn Auf diesen Beitrag antworten »

Induktion? Funktioniert das nicht nur in den natürlichen Zahlen? A ist ja Teilmenge der Reellen Zahlen...
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

@Donquixote: Möchtest du antworten, oder soll ich? Du bist ja der Ersthelfer.

EDIT:

Zitat:
Original von Baumbjörn
...
Sei A (Teilmenge) R eine nichtleere, endliche Teilmenge von R.
...
Induktion? Funktioniert das nicht nur in den natürlichen Zahlen? A ist ja Teilmenge der Reellen Zahlen...


Endliche Menge heißt für mich, daß man Indizes vergeben kann. Also Durchnummerieren, womit die Menge abzählbar ist.

Ein möglicher Ansatz:
Induktionanfang
(I.A.) Induktionanker: |A| =1
A = {x} -> x=x=x -> xmin <= x <= xmax

Induktionschluß
(I.V.) Annahme: für ein n mit |A|=n und fur alle  x € A gilt: ...

(I.B.) Behauptung: ...

(I.S.) Induktionschritt: aus (I.V.) muß (I.B.) folgen:
n -> n+1; ...
EDIT-2: Donquixote macht weiter. Es ist sein Thread. smile
 
 
Donquixote Auf diesen Beitrag antworten »

Jap, man kann A dann folgendermaßen auffassen: , wobei n die Anzahl der Elemente sei. Ich denke es wird durch das Durchnummerieren der Elemente verständlicher. Eine Induktion über die Anzahl der Elemente ist nun nicht mehr schwer.
Baumbjörn Auf diesen Beitrag antworten »

Reelle Zahlen durchnummerieren? Versteh ich net. Also wenn A eine Teilmenge von R (reelle Zahlen) ist, kann man sie doch als Intevall auffassen. Zum Beispiel -1<x<3 . In diesem Intervall liegen nun unendlich viele Elemente, die nicht abzählbar sind. In den reellen Zahlen sind zwischen 0,01 und 0,011 mehr Elemente als die ganzen Natürlichen Zahlen...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Baumbjörn
Also wenn A eine Teilmenge von R (reelle Zahlen) ist, kann man sie doch als Intevall auffassen.


Nein, nicht jede Teilmenge der reellen Zahlen ist ein Intervall. ist eine Teilmenge von , aber bestimmt kein Intervall. Und in diesem Fall ist eben vorausgesetzt, dass die Menge endlich ist, damit kann es schon gar kein Intervall mehr sein (außer man lässt entartete Intervalle zu, was aber auch zu keinem Problem führen würde).
Lisaneu Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich mache gerade die selbe Aufgabe und habe nun folgenden Ansatz

Sei A={a1.....an} C N mit n€N

IA n=1
A{a1} und maxA=a1

IS n-->n+1
A={a1....an,an+1}= {a1...an} u {an+1}
Also maxA=max{{a1,,,an}an+1}

So etwa und für min analog?
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