Polynomkongruenz

05.12.2013, 17:18	Yakmiras	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomkongruenz Moin, es sei p eine Primzahl und n eine natürliche Zahl. Man zeige, es gilt $\begin{eqnarray} (X+1)^{n}\equiv X^{n}+1~\mod p \end{eqnarray}$ genau dann, wenn n eine p-Potenz ist. Die Rückrichtung finde ich relativ einfach, allerdings habe ich mit der Hinrichtung Probleme. Die Polynomkongruenz heißt ja, dass alle Koeffizienten der beiden Polynome bzgl. p kongruent sind. Wegen $\begin{eqnarray} (X+1)^{n}=X^{n}+1+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\binom{n}{k}X^{k} \end{eqnarray}$ heißt das also, dass $\begin{eqnarray} \binom{n}{k}\equiv0~\mod p \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} p\bigr\|\binom{n}{k} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} k=1,2,...,n-1 \end{eqnarray}$ . Wie aber kann ich daraus folgern, dass n eine p-Potenz sein muss?

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