Stromlinien

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donkarabelas Auf diesen Beitrag antworten »
Stromlinien
Hallo zusammen!

Ich hab eine Frage die vl ganz banal klingt aber ich komm nicht weiter. Wie kann man konket zu einem gegeben Vektorfeld die Stromlinien berechnen? (im ). In unserer VO zu Strömungslehrer is folgende Formel gefallen:

wobei t jeweils der tangentialvektor einer kurve ist. Ich halte persönlich für irgendwie nicht einleuchtend. Könnte mir jemand sagen wie man nun wirklich stromlinien ausrtechnet?


lg
elias
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stromlinien
Zitat:
Original von donkarabelas
Ich halte persönlich für irgendwie nicht einleuchtend.

Was du da so schreibst, ist auch nicht wirklich einleuchtend. Im Klartext: es ist unverständlich! Was du da hingeschrieben hast, ist keine Formel sondern ein Term, in dem du nur einen Ausdruck erklärt hast. Zu wenig, um etwas zu antworten.
donkarabelas Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz einfach, ic würde nur gerne die Formel wissen wie man zu einem gegeben Vektorfeld die Stromlinien berechnet.
sqrt(2) Auf diesen Beitrag antworten »

Die Frage ist falsch. Das können sehr komplizierte Probleme werden.

donkarabelas Auf diesen Beitrag antworten »

ok und wenn man ein recht einfaches wektorfeld gegeben hat wie zb:



wie würde man hier vorgehen?

lg
elias
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast echt keine Vorstellung, oder? Ich musste jetzt erstmal unter Wikipedia nachschauen, was Stromlinien überhaupt sind. Ist doch klar, dass die Leute erst dann helfen können, wenn sie etwas darüber wissen, was du selber über das Thema weißt. Deshalb sollte man das als Fragesteller schon darlegen.

Naja, wie gesagt, ich habe mich über Wikipedia schlau gemacht und schreibe jetzt mal das auf, wie ich die Erklärung in Wikipedia verstanden habe. Also, man geht aus von einem gegebenen Geschwindigkeitsfeld



Nun Zitat Wikipedia:

"Stromlinien sind die Kurven im Geschwindigkeitsfeld einer Strömung, deren Tangentenrichtung mit den Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmen, d. h. an jedem Punkt wird die Stromlinie durch einen Geschwindigkeitsvektor tangiert."

Das verstehe ich mathematisch übersetzt so: eine Kurve



ist eine Stromlinie bezüglich u, wenn für alle t >= 0 gilt



das heißt:





Das ist dann ein zu lösendes Differentialgleichungssystem.

-----------------------------------------------------

Ein Beispiel: Wir nehmen uns das Feld



vor. Da es natürlich unendlich viele Stromlinien gibt, müssen wir einen Startpunkt angeben. Sei der mal (1,1,1), also



Das Differentialgleichungssystem lautet





Mit der Matrix



kann das auch so geschrieben werden:



Dies ist ein lineares Gleichungssystem, welches du hoffentlich lösen kannst. Mit dem oben angegebenen Anfangswert wird die Lösung eindeutig.

--------------------------------------------------------------------------------

Bemerkung: Für dynamische Geschwindigkeitsfelder muss halt für jeden Zeitpunkt ein DGL-System gelöst werden.

--------------------------------------------------------------------------------

Beispiel2:

Man kann das ganze natürlich auch im IR² machen anstatt im IR³. Nehmen wir dein Beispiel mit c = d = 1, also



Hier lautet das DGL-System



Die Matrix hat die Eigenwerte 1 und -1. Ein Eigenvektor zu 1 ist (1,1) und einer zu -1 ist (1,-1). Die allgemeine Lösung des Systems ist also



Nehmen wir als Anfangspunkt für die Kurve den Punkt (1,1), dann bekommen wir als eindeutige Lösung



Das ist dann die Stromlinie zum Vektorfeld u mit dem Anfangspunkt (1,1).
 
 
donkarabelas Auf diesen Beitrag antworten »

ha danke für die ausführliche antwort, genau das ist es was ich gesucht habe. Ich hab mir das auch auf wikipedia durchgelesen aber nicht verstanden. Jetz ist es mir völlig klar.

Freude

lg
elias
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