Reihe mit Fibonaccizahlen im Nenner

05.12.2013, 19:50	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe mit Fibonaccizahlen im Nenner Hallo, ich hänge zurzeit an einer Aufgabe zu den Fibonaccizahlen fest: Sei $\begin{eqnarray} f(0)=f(1)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x+2)=f(x+1)+f(x),x\in\mathbb N \end{eqnarray}$ die Folge der Fibonaccizahlen untersuchen Sie die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{f(k+2)\cdot f(k)} \end{eqnarray}$ auf Konvergenz und bestimmen sie ggf. den Grenzwert. Konvergenz war ja kein Problem: Aus $\begin{eqnarray} f(x)\geq x \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{f(k+2)\cdot f(k)}=\frac 12+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{f(x+2)\cdot f(k)}\leq\frac 12+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+2)}=\frac 12+\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2k}-\frac{1}{2(k+2)}=\frac 12+\frac 12\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\stackrel{\text{Teleskop}}{=}\frac 12+\frac12=1 \end{eqnarray}$ und damit ist eine konvergente Majorante gefunden. Das eigentliche Problem: der Grenzwert. Er liegt zwischen Null und Eins, das ist klar. eine kurze Excel-Berechnung lässt vermuten, dass er 1 ist, aber beweisen will sich das partout nicht lassen... Die Grenzwertdefinition (Ansatz über die Partialsummen) geht nicht, weil sich die Summe nicht geschlossen darstellen lässt (wir hatten die geschlossene Formel für die Fibonaccizahlen noch nicht in der VO, dürfen sie also nicht verwenden), also bleibt beinahe nur das Einschließungskriterium. Wenn der GW 1 wäre (wo ich mir nicht sicher bin), dann bräuchte ich nur noch eine Minorante, die gegen 1 konvergiert.Nur habe ich trotz einiger Suche keine gefunden - meine Ansätze mit Exponentialfunktionen führten auf Widersprüche zur Majorante (die Partialsumme wäre größer als 1 gewesen) Tja, mein latein ist am Ende und ich bin dankbar für jede Hilfe lg kgV
05.12.2013, 20:17	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe mit Fibonaccizahlen im Nenner man kann so umformen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{f(k)f(k+2)}=\frac{f(k+1)}{f(k)f(k+1)f(k+2)}=... \end{eqnarray}$
05.12.2013, 20:40	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin heute schon den ganzen Nachmittag am Rechnen - trotzdem (oder deswegen) sehe ich grade nicht, was mir diese Umformung bringt - den Nenner kann ich jetzt zu $\begin{eqnarray} f(k)f(k+1)(f(x)+f(k+1)) \end{eqnarray}$ umschreiben, aber das bringt mich nicht weiter... Teleskop wird wegen der unregelmäßigen Abstände ohnehin keines daraus, oder? Die PBZ ergibt bei mir jedenfalls nur Stumpfsinn... Einen kleinen Schubs werde ich wohl noch brauchen...
05.12.2013, 20:48	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
du kannst im Zähler $\begin{eqnarray} f(k+1) \end{eqnarray}$ ersetzen (mit Hilfe der Rekusionsgleichung)
05.12.2013, 21:01	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Also doch ein Teleskop Damit haben wir $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n\frac{1}{f(k)f(k+1)}-\frac{1}{f(k+1)f(k+2)}=\frac{1}{f(0)f(1)}-\frac{1}{f(n+1)f(n+2)} \end{eqnarray}$ und mit dem Limes davor $\begin{eqnarray} \frac{1}{f(0)f(1)}=1 \end{eqnarray}$ Vielen Dank fürs Schubsen

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