Erwartungswert einer Zufallsgröße anhand der Definition

05.12.2013, 19:54	Lotta13	Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert einer Zufallsgröße anhand der Definition Meine Frage: Berechnen Sie den Erwartungswert einer Zufallsgröße, die eine B(2,p)-Verteilung besitzt, ausgehend von der Definition des Erwartungswertes. Setzen Sie also nicht einfach nur in die bekannte Lösung EX=np ein! In unserem Skript wird geschrieben, dass der Erwartungswert als Schwerpunkt einer Massenverteilung interpretiert werden kann. Und dann etwas von gi Gewichte die im Abstand xi von einem 0-Punkt angebracht sind, dadurch sei der pyhsikalische Schwerpunkt xs dieser Massenverteilung definiert durch $\begin{eqnarray} x_{s} = \frac{\sum\limits_{i=1}^k x_{i} g_{i} }{\sum\limits_{i=1}^k g_{i}} = \sum\limits_{i=1}^k x_{i} w_{i} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} w_{i}= g_{i}/\sum\limits_{i=1}^k g_{i} \end{eqnarray}$ Ersetzt man die Gewichte wi nun durch die Wahrscheinlichkeit P(X=xi), die, wie die wi, alle positiv sind und sich zu 1 addieren, so hat man den Erwartungswert. von B(1,p) ist er nach dieser Definiton $\begin{eqnarray} EX= 0 \cdot P(X=0)+ 1\cdot P(X= 1)= 0\cdot (1-p) + 1 \cdot p = p \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für B(2,p) habe ich mir also gedacht es muss ja EX=2p herauskommen. Ich bin mir jetzt unsicher was für p bei 2 eingesetzt werden muss, da die wahrscheinlichkeiten sich ja zu 1 addieren müssen. Ist die Formel dann $\begin{eqnarray} EX= 0\cdot (1-p) + 1 \cdot p+ 2\cdot \frac{p}{2} = 2p \end{eqnarray}$ Bzw. soll ich es hier überhaupt so machen oder ist das schon nicht mehr über die Definition berechnet? Mit der oberen Formel mit gi kann ich leider nichts anfangen. Ich weiß nur, dass sich die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten zu 1 addiert. Und das bei einem Histogramm das Ereignis mit der höchsten Wahrscheinlichkeit dem Erwartungswert entspricht! Für Hilfe wäre ich überaus dankbar!
06.12.2013, 10:11	RAP	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Du kannst doch das selbe, was Du für $\begin{eqnarray} B(1,p) \end{eqnarray}$ gemacht hast, auch für $\begin{eqnarray} B(2,p) \end{eqnarray}$ machen. Wenn $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine $\begin{eqnarray} B(2,p) \end{eqnarray}$ -Verteilung besitzt, dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung ja gegeben durch: $\begin{eqnarray} P(X=k)= \sum_{k=0}^{2} {n \choose k} p^{k}(1-p)^{n-k} \end{eqnarray}$ . Also kannst Du den Erwartungswert wieder genauso ausrechnen, indem Du - analog wie Du es für $\begin{eqnarray} B(1,p) \end{eqnarray}$ getan hast - die möglichen Auskommen mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aufsummierst: $\begin{eqnarray} E[X]=\sum_{k=0}^{2} k \cdot P(X=k) = {2 \choose 1}p(1-p) + 2{2 \choose 2} p^{2}= 2p-2p^{2}+2p^{2}=2p \end{eqnarray}$

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