Produkt einer beschränkten Folge und einer Konvergenten Reihe konvergiert.

05.12.2013, 21:43

fermat2

Produkt einer beschränkten Folge und einer Konvergenten Reihe konvergiert.

Die Aufgabenstellung lautet:
Beweisen oder widerlegen Sie: Ist[latex] b_k [\latex] beschränkt und
[latex] sum(a_k,n=1,\inf) [\latex] konvergent, so
konvergiert auch
[latex] sum(a_k * b_k,k=1,\inf) [\latex]

Intuitiv würde ich eher versuchen ein Gegenbeispiel zu finden, z.B. die Folge b_k = 1/k

Muss ich das Cauchy-Produkt verwenden um auf [latex] sum(a_k * b_k,k=1,\inf) [\latex]
zu kommen?

05.12.2013, 22:10

kgV

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Hier brauchst du kein Gegenbeispiel, eine Abschätzung tut's auch: $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, nennen wir die Schranke nun M. Dann brauchst du zwei Fälle:
1. nach unten beschränkt
2. nach oben beschränkt

Welche Relationen gelten dann zwischen den Folgegliedern und M? Wie lässt sich das für den Beweis verwenden?

Lg
kgV
Wink

05.12.2013, 22:22

HAL 9000

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Ohne Zusatzbedingungen - wie etwa " $\begin{eqnarray*} \sum_k a_k \end{eqnarray*}$ absolut konvergent" - würde ich tatsächlich eher nach einem Gegenbeispiel suchen. Augenzwinkern

05.12.2013, 22:36

kgV

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Oh verdammt, ich bin auf Beschränktheit gegangen...
Die wäre ja auch gegeben gewesen...
Sei $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt, u.S =M, o.S =N, und sei $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=0}a_k=A \end{eqnarray*}$

Dann ist $\begin{eqnarray*} AN=\sum_{k=0}^\infty N\cdot a_k\geq\sum^\infty_{k=0}a_kb_k\geq \sum_{k=0}^\infty a_k\cdot M=AM \end{eqnarray*}$

nun gut, dann zu einem Gegenbeispiel. Da hört sich 1/x schon gut an. Aber beherzige dir HAL's Tipp: such dir eine ähnliche Reihe, die nur bedingt konvergiert (Leibniz sollte da als Ideengeber herhalten können) und dann eine beschränkte Folge, die du auch aus dem Leibniz-Kriterium ableiten kannst

06.12.2013, 18:07

fermat2

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ich blicke noch nicht so ganz da durch...

also eine alternierende reihe und eine beschränkte folge? inwiefern leite ich die folge von leibniz ab? das Kriterium gilt doch nur für Reihen?
also eine Reihe konvergiert wenn der betrag der Folge eine monoton fallende Nullfolge ist.
und eine alternierede folge konvergiert nie.
ich tue mich schwer mir das Produkt einer Reihe und einer Folge vorzustellen... woher weiß man wie sich das Produkt verhält?

gruß und danke für die hilfe schonmal! smile

06.12.2013, 20:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von fermat2
also eine Reihe konvergiert wenn der betrag der Folge eine monoton fallende Nullfolge ist.
und eine alternierede folge konvergiert nie.

Es kommt inhaltlich ganz seltsam rüber, wenn du aus den diversen Kriterien nur Halbsätze herauslöst - da bleibt am Ende nur Kopfschütteln. unglücklich

---------------------------

Nennen wir doch einfach ein Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} a_k = \frac{(-1)^k}{k},b_k=(-1)^k \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k} \end{eqnarray*}$ konvergent (gemäß Leibniz-Kriterium) sowie $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ beschränkt wegen $\begin{eqnarray*} |b_k|\leq 1 \end{eqnarray*}$ .

Aber $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_kb_k = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ist divergent (harmonische Reihe).

07.12.2013, 15:05

fermat2

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ok danke HAL9000, das ist ja leichter als erwartet. ich habe mich irgendwie davor gescheut, die Folgen in das Produkt einfach einzusetzen.

und sorry für die Halbsätze, ich "verstehe" Reihen noch nicht so ganz..
Ich versuche mich mal selbst zu verbessern:
Was ich meinte war:
Sei $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende, reelle Nullfolge, dann konvergiert die alternierende Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^k a_k \end{eqnarray*}$

und mit dem Ausspruch "alternierende Folgen konvergieren nie" meinte ich:
es gibt es kein Kriterium für alternierende Folgen. Die Divergenz bei alternierenden Folge ergibt sich ja aus verschiedenen Häufungspunkten.

Ich hätte noch eine Frage zu deiner Bemerkung: " $\begin{eqnarray*} \sum_k a_k \end{eqnarray*}$ absolut konvergent".
Warum ist es da nicht möglich ein Gegenbeispiel zu finden?
Ist $\begin{eqnarray*} | a_k | | \frac{(-1)^k}{k} | \end{eqnarray*}$ nicht auch Konvergent und damit $\begin{eqnarray*} \sum_k a_k \end{eqnarray*}$ absolut konvergent? Irgendwas muss ich hier falsch verstanden haben.

Danke und lieben gruß!

07.12.2013, 15:09

fermat2

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sry habe ein Zeichen vergessen, es sollte heißen:

$\begin{eqnarray*} | a_k | = | \frac{(-1)^k}{k} | \end{eqnarray*}$

07.12.2013, 15:20

kgV

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Die ´Definition der absoluten Konvergenz ist aber folgende: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ heißt absolut konvergent genau dann wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergent ist, also wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty|a_n| \end{eqnarray*}$ konvergiert und nicht nur $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$

Das ist für die harmonische Reihe natürlich nicht erfüllt smile

08.12.2013, 02:10

fermat2

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Zitat:

Original von kgV
Die ´Definition der absoluten Konvergenz ist aber folgende: Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty a_n \end{eqnarray*}$ heißt absolut konvergent genau dann wenn die Reihe der Absolutbeträge konvergent ist, also wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty|a_n| \end{eqnarray*}$ konvergiert und nicht nur $\begin{eqnarray*} |a_n| \end{eqnarray*}$

Das ist für die harmonische Reihe natürlich nicht erfüllt smile

Auf die Details kommts es an.
Ok, jetzt ists klar, danke dir!

08.12.2013, 11:25

kgV

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Gern geschehen smile

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Produkt einer beschränkten Folge und einer Konvergenten Reihe konvergiert.

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