Funktion in Potenzreihe entwickeln

05.12.2013, 22:56	Xbf	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion in Potenzreihe entwickeln Hallo, bei folgender Aufgabe habe ich Probleme: Entwickle die die Funktion $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{z-1}{z^2+2} \end{eqnarray}$ in eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} z_0=i \end{eqnarray}$ und gebe den Konvergenzradius dieser Reihe an. Ich habe das mal mit der Taylorreihe gemacht (3. Ordnung): $\begin{eqnarray} -(1-i)+(3+2i)(z-i)+(5-7i)(z-i)^2-(17+12i)(z-i)^3 \end{eqnarray}$ Damit habe ich keine Probleme, aber wie ich das jetzt mit der Summenformel ausdrücke, das bekomme ich nicht hin bzw. wie sieht mein $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ aus? Allgemein muss die bekanntlich so aussehen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray}$ Meine Idee ist dann irgendwie sowas: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}\cdot (1-i)^{n+1}(z-i)^n \end{eqnarray}$ Mir ist klar, dass das nicht richtig ist, aber ich glaube so ähnlich könnte das aussehen. Wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte, wäre ich sehr dankbar. Grüße Xbf

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