Wurzelkriterium

05.12.2013, 23:10

Sta_

Wurzelkriterium

Meine Frage:
Hallo,
ich soll die folgende Reihe auf Konvergenz, absolute Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{n^{2} }{n^{2}+1 } )^{n^{3} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
nun ich hab's mit dem Wurzelkriterium probiert, jedoch bekomm ich da immer lim = 1 heraus und da mir das Wurzelkriterium bei 1 nichts aussagt wollte ich fragen ob es hier eine andere Möglichkeit gibt?
hab die Reihe untersucht (WolframAlpha) und sie konvergiert gegen 0.73? also müsst ich doch nur zeigen dass mein Wurzelkriterium hier angewendet < 1 ist,jedoch bekomm ich immer =1 heraus verwirrt

05.12.2013, 23:19

kgV

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Weil ich weiß, dass du das bis morgen brauchst ( Augenzwinkern

):

Nach Anwendung des WK einfach $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^2+1}<1 \end{eqnarray*}$ abschätzen, die archimedische Anordnung der reellen Zahlen erledigt den Rest.

Lg
kgV
Wink

edit: dafür lässt du dir aber ziemlich Zeit Augenzwinkern

- ich bin wech, schlafen Schläfer

06.12.2013, 10:05

Sta__

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Dankeeeeeeeee Augenzwinkern

Ja habs fast aufgegeben gehabt, wollt dann doch mal nachfragen :-)

06.12.2013, 11:32

Rubbeldiekatz

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Hää? Ich verstehe das nicht.

Wieso reicht $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^2+1}<1 \end{eqnarray*}$ schon aus, um zu folgern, dass der Grenzwert des Ausdrucks im Wurzelkriterium gegen einen Wert kleiner als 1 konvergiert?

Würde das gleiche Argument nicht auch bei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{n^{2} }{n^{2}+1 } )^{n^{2} } \end{eqnarray*}$ ziehen?

Ich hoffe es ist ok, wenn ich das hier frage. Wink

06.12.2013, 11:40

HAL 9000

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RE: Wurzelkriterium

Zitat:

Original von Sta_
also müsst ich doch nur zeigen dass mein Wurzelkriterium hier angewendet < 1 ist,jedoch bekomm ich immer =1 heraus verwirrt

Eine Reihe kann auch konvergieren, wenn beim Wurzelkriterium =1 herauskommt. Augenzwinkern

Aber nichtsdestotrotz kommt hier bei dieser konkreten Reihe ein Wert <1 heraus, du musst dich also verrechnet haben - zeig mal deine Rechnung!

06.12.2013, 21:09

kgV

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Wenn die Basis kleiner als 1 ist, dann müssen auch die Potenzen davon kleiner als 1 sein, damit gilt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)<1 \end{eqnarray*}$ für alle n aus den natürlichen Zahlen

Natürlich kannst du auch bei der Reihe argumentieren, dass ihre einzelnen Summanden immer kleiner als Eins sind, nur ist das kein Kriterium für Konvergenz - das Wurzelkriterium dagegen schon smile

06.12.2013, 21:15

Rubbeldiekatz

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Zitat:

Ja, aber das reicht doch nicht für die Anwendung des Wurzelkriteriums. Dafür müsste schließlich $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2} \leq q \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ .

Das folgt doch nicht direkt daraus, dass die Basis kleiner als 1 ist oder?

06.12.2013, 21:20

kgV

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Nun, es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^2+1}<1 \end{eqnarray*}$ nach Anwendung des Wurzelkriteriums folgt $\begin{eqnarray*} \left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}<1^{n^2} \end{eqnarray*}$ und aus der archimedischen Anordnung von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ folgt direkt $\begin{eqnarray*} \exists q\in\mathbb R: \left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)<q<1 \end{eqnarray*}$ und damit speziell $\begin{eqnarray*} \left|\left(\frac{n^2}{n^2+1}\right)^{n^2}\right| \leq q<1 \end{eqnarray*}$

06.12.2013, 21:22

Rubbeldiekatz

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Ja, aber das q kannst du doch erstmal nicht unabhängig von n wählen, was aber nötig wäre. Deswegen gab ich dir ja das andere Beispiel.

Bei der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty (\frac{n^{2} }{n^{2}+1 } )^{n^{2} } \end{eqnarray*}$ kann man doch ganz genau analog argumentieren und die konvergiert nicht.

06.12.2013, 21:35

HAL 9000

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Rubbeldiekatz hat Recht mit seinen Einwänden: Tatsächlich greift hier

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{n^2}{n^2+1} \right)^{n^2} = \frac{1}{\left( 1+\frac{1}{n^2} \right)^{n^2}} \to \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .

06.12.2013, 21:43

Rubbeldiekatz

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Ah, sehr geschickt , wo das e doch überall auftaucht smile

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