Abschätzung

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06.12.2013, 13:39	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzung Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} \Omega\subset\mathbb{R}^n (n>1) \end{eqnarray}$ ein beschränktes Gebiet und $\begin{eqnarray} 0<\alpha<n \end{eqnarray}$ . Zeige, dass es eine Funktion $\begin{eqnarray} a\in L^{\infty}(\Omega\times\Omega) \end{eqnarray}$ gibt mit $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac{1}{(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{\alpha}}\right\rvert\leq\frac{\lvert a(x,y)\rvert}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hm, weiß jemand eine Hilfe für mich? Ich bin (ehrlich gesagt) ratlos!
06.12.2013, 14:55	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abschätzung du kannst mit dem Mittelwertsatz $\begin{eqnarray} \arctan\\|x-y\\| \end{eqnarray}$ nach unten abschätzen: $\begin{eqnarray} \arctan\\|x-y\\|= \arctan\\|x-y\\|-\arctan 0=... \end{eqnarray}$
06.12.2013, 15:12	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, kannst du mir bitte erklären, wie du das meinst? ich habe es noch nicht verstanden
06.12.2013, 15:22	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
der Mittelwertsatz sagt ja, dass (unter gewissen Voraussetzungen) gilt $\begin{eqnarray} f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) \end{eqnarray}$ für ein geeignetes $\begin{eqnarray} \xi \end{eqnarray}$ , das zwischen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ liegt. Das kannst du hier anwenden für $\begin{eqnarray} f=\arctan \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=\\|x-y\\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$
06.12.2013, 15:25	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann habe ich dass für ein $\begin{eqnarray} \xi\in (0,\lVert x-y\rVert) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \arctan(\lVert x-y\rVert)=\frac{\lVert x-y\rVert}{\xi^2+1} \end{eqnarray}$ , oder? Und wie geht es weiter?
06.12.2013, 15:30	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, ich habe dann, dass $\begin{eqnarray} \arctan(\lVert x-y\rVert)>\frac{\lVert x-y\rVert}{1+\lVert x-y\rVert^2} \end{eqnarray}$ , oder?
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06.12.2013, 15:36	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
ja
06.12.2013, 15:46	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
danke! dann habe ich für die abschätzung doch $\begin{eqnarray} \left\lvert\frac{1}{(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{\alpha}}\right\rvert\leq\frac{(\lVert x-y\rVert^2+1)^{\alpha}}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}} \end{eqnarray}$ ist denn auch $\begin{eqnarray} (\lVert x-y\rVert^2+1)^{\alpha}\in L^{\infty}(\Omega\times\Omega) \end{eqnarray}$ ? Ich würde sagen ja, denn es gilt doch wegen der Beschränktheit von $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ (d.h. doch $\begin{eqnarray} \lVert \omega\rVert\leq M \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \omega\in\Omega \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} 0<M<\infty \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} (\lVert x-y\rVert^2+1)^{\alpha}\leq ((2M)^2+1)^{\alpha}<\infty \end{eqnarray}$ , also ist die Funktion beschränkt und dann doch auch wesentlich beschränkt, also in $\begin{eqnarray} L^{\infty}(\Omega\times\Omega) \end{eqnarray}$ ?
06.12.2013, 16:03	EinGast	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig!
06.12.2013, 16:11	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist so lieb, dass du mir geholfen hast, ich hätte es sonst nie hinbekommen! kannst du mir vielleicht bei einer weiteren aufgabe auch helfen? sie ist (glaube ich) sehr ähnlich, man soll wieder das gleiche machen wie eben nur dass man jetzt die funktion $\begin{eqnarray} h(x,y):=\lVert x\rVert^{1-n}\ln(\lVert x\rVert)(\arctan(\lVert x-y\rVert))^{-\alpha}, x\neq y \end{eqnarray}$ hat und als Hinweis steht dabei: Polarkoordinaten also man soll wieder eine funktion $\begin{eqnarray} a\in L^{\infty}(\Omega\times\Omega) \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} \lvert h(x,y)\rvert\leq\frac{\lvert a(x,y)\rvert}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}} \end{eqnarray}$ Also ich muss auf jeden fall die aufgabe von eben benutzen, dann habe ich schonmal $\begin{eqnarray} \lvert h(x,y)\rvert\leq \lvert\lVert x\rVert^{1-n}\ln(\lVert x\rVert)\lvert\cdot\frac{(\lVert x-y\rVert^2+1)^{\alpha}}{\lVert x-y\rVert^{\alpha}} \end{eqnarray}$
06.12.2013, 19:02	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
hey hat noch jemand bitte eine idee? wäre total nett!
06.12.2013, 19:56	nikolaustag	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß eigentlich gar nicht, was genau ich eigentlich zu tun habe! eigentlich muss ich doch nur noch den Faktor $\begin{eqnarray} \lvert \lVert x\rVert^{1-n}\ln(\lVert x\rVert)\rvert \end{eqnarray}$ abschätzen durch eine beschränkte (wesentlich) Funktion? Und wozu der Hinweis dass man Polarkoordinaten benutzen sollte?

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