Diskussion: sin(x)/x für x gegen 0 - Seite 2

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27.03.2007, 15:03

WebFritzi

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Egal. Auch die Inadäquataner haben unsere Argumente nicht zunichtemachen können.

27.03.2007, 15:17

Leopold

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Als bedrohte Minderheit genießen sie aber den besonderen Schutz des Grundgesetzes (Art. 111 Abs. I Satz A,1).

27.03.2007, 15:19

WebFritzi

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Mist, und ich dachte schon, meine kecke und provokante Bemerkung hätte jetzt die Inadäquataner aus der Reserve gelockt. Augenzwinkern

27.03.2007, 15:36

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Ich erinnere daran, dass therisen vorgeschlagen hat, sich auf eine einheitliche Linie bei diesem Fall zu einigen um solche Diskussionen in künftigen Threads zu vermeiden. Was wäre jetzt also das Fazit? Augenzwinkern

27.03.2007, 15:51

Frooke

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Dass man das Resultat ändert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin{x}}{x}=0 \end{eqnarray*}$

Wer ist dafür? Augenzwinkern

Nein ehrlich, ich habe auch den Überblick verloren...

27.03.2007, 16:26

WebFritzi

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Zitat:

Original von n!
Was wäre jetzt also das Fazit? Augenzwinkern

Für mich ist der Fall klar. Es liegt kein Zirkelschluss vor, und die Anwendung von l'Hospital ist hier vollkommen OK.

27.03.2007, 16:29

Leopold

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Zitat:

Original von WebFritzi
Mist, und ich dachte schon, meine kecke und provokante Bemerkung hätte jetzt die Inadäquataner aus der Reserve gelockt. Augenzwinkern

Jetzt hast du mich doch aus der Reserve gelockt.

Die Frage ist ja immer: Wo fängt man an? Wenn man Sinus und Cosinus über Potenzreihen einführt, dann ist die Anwendung von L'Hospital für unsern Fall absolut verstiegen, denn die Potenzreihe selbst zeigt ja schon alles. Ich gehe daher von einer elementaren Einführung der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis aus. (Ich weiß, daß geometrische Argumente, die doch gelegentlich auf Anschauung und einem ungeklärten Axiomensystem beruhen, von strengen Anhängern der Analysis nicht akzeptiert werden. Insofern bin ich mir der Fragwürdigkeit dieses Vorgehens bewußt. Es ist aber der historisch korrekte Ansatz, und vor allem derjenige, der Schülern zuerst begegnet.)

Noch einmal:

1.
Bekannt sind die Definitionen der trigonometrischen Funktionen am Einheitskreis.

2.
Aus den Definitionen aus 1. gewinnt man die klassischen Umrechnungsformeln (damit meine ich Additionstheoreme und Ähnliches).

3.
Bekannt ist die Definition der Ableitung als Limes des Differenzenquotienten.

Auch die Anhänger von L'Hospital werden nicht bestreiten, daß man zur Anwendung der Regel zwar nicht die Differenzierbarkeit der Sinusfunktion bei 0 braucht, wohl aber die Differenzierbarkeit in einer punktierten Umgebung von 0. Also müssen wir uns zuerst die Ableitung der Sinusfunktion verschaffen. Oder gibt es ein Naturgesetz, daß das die Cosinusfunktion sein muß?
Dazu sei $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus einer punktierten Umgebung von $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ (übrigens wäre $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ bei der folgenden Überlegung durchaus zulässig) und $\begin{eqnarray*} h \neq 0 \end{eqnarray*}$ dem Betrage nach genügend klein:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sin{(x+h)} - \sin{x}}{h} = \frac{\sin{x} \cdot \cos{h} + \cos{x} \cdot \sin{h} - \sin{x}}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sin{x} \cdot \frac{\cos{h} - 1}{h} + \cos{x} \cdot \frac{\sin{h}}{h} = - \sin{x} \cdot \frac{1 - \cos^2{h}}{h \left( 1 + \cos{h} \right)} + \cos{x} \cdot \frac{\sin{h}}{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = - \sin{x} \cdot \left( \frac{\sin{h}}{h} \right)^2 \cdot \frac{h}{1 + \cos{h}} + \cos{x} \cdot \frac{\sin{h}}{h} \end{eqnarray*}$

Und nun? verwirrt

Ich glaube, ich bitte jetzt doch um Aufnahme bei den Circulusvitiosensern ...

27.03.2007, 16:48

Leopold

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Ich weiß, warum WebFritzi schweigt. Er sucht gerade nach einer Herleitung für die Ableitung der Sinusfunktion, die den fraglichen Grenzwert nicht verwendet. Viel Spaß dabei! Big Laugh

27.03.2007, 16:50

WebFritzi

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Zitat:

Original von Leopold
Die Frage ist ja immer: Wo fängt man an? Wenn man Sinus und Cosinus über Potenzreihen einführt, dann ist die Anwendung von L'Hospital für unsern Fall absolut verstiegen, denn die Potenzreihe selbst zeigt ja schon alles.

Und genau das sehe ich nicht so. Sagen wir mal, man weiß alles, OK? Also sin'(x) = cos(x) ist für alle reellen x bekannt. Und man hat diesen Grenzwert vor sich stehen. Kann ja sein, dass man jetzt nicht sofort sieht, dass das das gleiche ist wie sin'(0). Man sieht aber sofort, dass man l'Hospital anwenden kann. Und die Anwendung ist legitim. Es gibt ja sogar Leute wie z.B. Mythos, die sagen, die Anwendung wäre hier falsch. Das ist natürlich Blödsinn. Die Regel von l'Hospital ist j nicht nur irgendeine Regel, sondern die entspringt einem Satz, den man hier getrost anwenden darf, denn die Voraussetzungen sind erfüllt. Danach sieht man dann: Ach, das ist ja cos(0) = sin'(0). Das hätte ich auch gleich sehen können. Wohl wahr. Aber man hat nichts falsch gemacht.

27.03.2007, 16:57

Leopold

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Einverstanden. Aber genauso kann man die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Trapezes zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks verwenden. Man muß das Dreieck nur als Trapez auffassen, bei dem eine der parallelen Seiten die Länge 0 hat. Daß irgendwann früher einmal die Trapezformel mittels der Dreiecksformel hergeleitet wurde, ist da bereits ganz in Vergessenheit geraten ...

27.03.2007, 17:15

WebFritzi

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Wenn man das so sieht wie ich oben, dann ist das 1:1 vergleichbar, ja.

27.03.2007, 17:46

Leopold

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Na dann: Friede! Freude! Eierkuchen! Prost

Nichts ist geklärt. Aber alle fühlen sich bestätigt. Das ist ja fast schon wie in der Politik: Jeder der Koalitionspartner konnte sich bei den Verhandlungen zu 100 Prozent durchsetzen. Das macht zusammen schon 200 Prozent. Wenn das kein vorzeigbares Ergebnis ist!

27.03.2007, 19:59

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Wie ich in es in dem von mir verlinkten Thread schon mal getan habe:

Man muss die Verfechter der primär analytischen Sinus-Definition nur mal zum Nachweis von $\begin{eqnarray*} \sin(\pi)=0 \end{eqnarray*}$ auffordern, schon kommen sie aber sowas von gewaltig ins Rudern... smile

Bin aber immer noch offen für die Demonstration eines leidlich kurzen Wegs...

27.03.2007, 20:18

Leopold

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Richard Baltzer (1818-1887) hat in seinen "Elemente der Mathematik" $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ als die kleinste positive Nullstelle der Cosinusfunktion definiert. Daß diese zwischen 1 und 2 liegen muß, kann man mit Abschätzungen der Potenzreihe relativ leicht zeigen. Mittels trigonometrischem Pythagoras (der sich auch durch Reihenmanipulationen und Differentialrechnung gewinnen läßt) folgt dann $\begin{eqnarray*} \sin{\frac{\pi}{2}} = 1 \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} \sin{\pi} = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich mit den Additionstheoremen, die man auch wieder aus den Potenzreihen bekommt. Bei diesem Vorgehen ist natürlich überhaupt nicht klar, daß dieses $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dasjenige ist, das man vom Kreis kennt. Dieser Zusammenhang muß dann irgendwie über die Integralrechnung hergestellt werden.
Das kann man natürlich so machen, und für einen strengen Aufbau der Analysis ist das Vorgehen vielleicht auch zweckmäßig. Es ist daher heutzutage gang und gäbe. Dennoch ist völlig ahistorisch. Es stellt sozusagen die geschichtliche Entwicklung auf den Kopf. Ich propagiere daher auch Arthurs Sicht.

Und der arme Archimedes stöhnt aus seinem Grab heraus: Zerstört mir mein Kreis- $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ nicht!

02.05.2007, 23:58

muh

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Also wir haben den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ so hergeleitet:
$\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \to \sin x < x < \tan x \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ gilt also
$\begin{eqnarray*} \frac{\sin x}{x}<1<\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x\cdot\cos x} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \cos x < \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ .

Man erhält ein "Sandwich": $\begin{eqnarray*} \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \end{eqnarray*}$
Nun gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\cos x=1=\lim_{x \to 0}~1 \end{eqnarray*}$ , und man schließt $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{\sin x}{x}=1 \end{eqnarray*}$

setzt halt stetigkeit voraus. die abschätzung $\begin{eqnarray*} 0<x<\frac{\pi}{2} \to \sin x < x < \tan x \end{eqnarray*}$ kann man bestimmt irgendwie beweisen (Satz von Taylor)

03.05.2007, 20:21

Frooke

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Ich würde das am Einheitskreis machen, Taylor eignet sich ganz und gar nicht, weil ja da die Ableitung schon wieder benutzt wird Augenzwinkern

20.06.2007, 07:30

Chris2005

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Man kann doch das Problem auch über Potenzreihenansatz lösen. Da kürzt sich dann das x und es bleibt über, große Überraschung, 1

mfg chris

20.06.2007, 12:45

therisen

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... welch neue Erkenntnis Schläfer

20.06.2007, 18:57

Chris2005

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hm? kann man so nicht machen, oder wie? wurde nicht sinus ursprünglich als potenzreihe eingeführt, und alles andere sind erkenntnisse daraus?

mfg chris

20.06.2007, 20:40

therisen

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Ich meinte damit eher, dass dein Beitrag nichts Neues zum Thema beisteuert. Lies dir diesen Beitrag von Leopold durch: Diskussion: sin(x)/x für x gegen 0

Gruß, therisen

03.06.2008, 16:56

Daniel.Cagara

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Ich werde hier mal zeigen wie es richtig geht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir die Reihendarstellung des Sinus ein:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sum_{k=0}^{\infty}~(-1)^{k}\cdot \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}{x} \end{eqnarray*}$

Jetzt können wir ein x wegkürzen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sum_{k=0}^{\infty}~(-1)^{k}\cdot \frac{x^{2k}}{(2k+1)!} \end{eqnarray*}$

Und schwuppdidupp einfach den Limes ablesen (jetzt ist ja banal, da der Zähler hier gegen Eins geht!):

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sum_{k=0}^{\infty}~(-1)^{k}\cdot \frac{x^{2k}}{(2k+1)!} = 1 \end{eqnarray*}$

Edit(Dual Space): Letzte Zeile gemäß meinem Vorschlag editiert.

04.06.2008, 22:09

Dual Space

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Zitat:

Original von Daniel.Cagara
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sum_{k=0}^{\infty}~(-1)^{k}\cdot \frac{x^{2k}}{(2k+1)!} = 0 \end{eqnarray*}$

Ja is klar. Finger1

Entweder du liebst schlechte Witze oder du solltest dir mal die ersten Summanden der Reihe hinschreiben.

04.06.2008, 22:12

Airblader

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.. was auch direkt zur nächsten Lieblingsdiskussion bzgl. $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ führen kann Big Laugh

air

04.06.2008, 23:42

therisen

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Zu seiner Verteidigung sollte man sagen: Wenige Minuten nachdem er den Beitrag abgeschickt hat, hat er erkannt, dass das Unsinn ist und darum gebeten, seinen Beitrag zu löschen. Stattdessen wurde eben jener Beitrag mit der Bitte gelöscht.

05.06.2008, 08:55

klarsoweit

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Bekenne mich als Übeltäter. Ich hatte den letzten Beitrag mit der Bitte gelöscht und wollte auch den eigentlichen Beitrag löschen, aber ich kam an den nicht mehr dran. Die Matheboard-Software wollte mich absolut nicht mehr an die letzte Seite lassen.

Jetzt geht's wieder. Wenn niemand was dagegen hat, kann man das Löschen noch nachholen.

05.06.2008, 10:41

Dual Space

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Vorschlag, um den Thread nicht zu zerreißen ... ich editiere die letzte Zeile im entsprechenden Post

Zitat:

Original von Daniel.Cagara
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sum_{k=0}^{\infty}~(-1)^{k}\cdot \frac{x^{2k}}{(2k+1)!} = 0 \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \sum_{k=0}^{\infty}~(-1)^{k}\cdot \frac{x^{2k}}{(2k+1)!} = 1 \end{eqnarray*}$

Dann stimmts ja auch.

@klarsoweit: Den erwähnten Anzeigefehler hatte ich auch bemerkt und darauf hin die Anzeige der Threads aktualisieren lassen.

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