Diskussion: sin(x)/x für x gegen 0

02.03.2007, 15:49

therisen

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Diskussion: sin(x)/x für x gegen 0

Hallo allerseits,

immer wieder tritt der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ hier im Board auf. Über den Grenzwert an sich sind wir uns alle einig. Allerdings gehen die Meinungen stark auseinander, wenn es um die Beantwortung der Frage geht, ob die Anwendung der Regel von de l'Hospital auf die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) := \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ ein Zirkelschluss ist oder nicht.
Wer sich dieser Problematik noch nicht bewusst ist, der möge sich bitte diesen Thread ansehen: Grenzwert bestimmen - genaues Vorgehen (insbesondere meine Linksammlung).

Zitat:

Original von klarsoweit
@therisen: vielleicht sollten wir einen eigenen Thread aufmachen, um die Diskussion Zirkelschluß oder nicht an separater Stelle zu führen. Mir wäre prinzipiell daran gelegen, da diese Frage hier im Board immer wieder hoch kocht. Es wäre gut, wenn wir Moderatoren da auf eine einheitliche Sichtweise kommen könnten. Vielleicht gelingt uns dies ja. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dieser Meinung bin ich auch. Die Diskussion sollte ein für allemal geklärt werden, sodass wir zukünftig nur noch mit einem Link antworten zu brauchen. Insbesondere soll der Fragesteller durch die in fast jedem derartigen Thread aufkommende Diskussion nicht vergrault werden.

Wollen wir diese Diskussion öffentlich oder intern führen? Ich wäre ja für ersteres.

Gruß, therisen

02.03.2007, 15:57

mercany

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Hey Michi,

ich wäre auch für eine öffentliche Diskussion.
Fachliche Meinungen gibt es dazu sicherlich einige hier im Board und auf diesem Weg gibts dann auch gleich neuen Lesestoff für die Unwissenden.

Also von mir aus kannst du es in den öffentlichen Bereich hauen.
An welche hattest du da gedacht? Off-Topic oder Analysis ?

Grüße, Jan

02.03.2007, 16:03

therisen

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Habe es mal verschoben und wichtig gemacht. Etwas blöd ist nur, dass die vielen Meinungen so verstreut sind unglücklich

unglücklich

02.03.2007, 16:57

mYthos

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Mein Standpunkt dazu ist der, dass der fragliche Grenzwert doch leicht auf einem anderen Weg ermittelt werden kann. Das muss man sogar, wenn die Ableitung von f(x) = sin(x) nachgewiesen werden soll!

$\begin{eqnarray*} \sin'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - \sin(x)}{h} = \ldots = \lim_{h \to 0} \cos x \frac{\sin h}{h} \end{eqnarray*}$

Der klassische Beweis erfolgt im Einheitskreis bei kleinen (positiven) h unmittelbar aus folgender Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sin h \leq h \leq \tan h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \leq \frac{h}{\sin h} \leq \frac{1}{\cos h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 \geq \frac{\sin h}{h} \geq \cos h \end{eqnarray*}$

und damit wird der Bruch in der Mitte zwangsläufig für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ !

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1 \end{eqnarray*}$

Wie man aus der o.a. Ableitung ersieht, kann L'hospital in diesem Fall ausnahmsweise nicht dazu verwendet werden, um den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$

zu berechnen, denn damit bestünde ein Zirkelschluss. Naturgemäß erwächst jedoch kein Widerspruch, falls man dies dennoch tut.

mY+

02.03.2007, 17:19

WebFritzi

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Die Zirkelschluss-Anhänger meinen, dass man mit l'Hospital die Ableitung von sin mit Hilfe der Ableitung berechnet. Das stimmt so aber nicht! Mit l'Hospital berechnet man den Grenzwert der Ableitung von sin in Null. Also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0}\sin'(x). \end{eqnarray*}$

Und wer sagt jetzt, dass das das gleiche wie sin'(0) ist??? Sprich, woher weiß ich, dass die Ableitung des Sinus in Null existiert und dort stetig ist? Wenn ich das nicht weiß, aber trotzdem weiß, dass sin'(x) = cos(x) außerhalb von Null gilt, dann kann ich mit l'Hospital den Grenzwert berechnen ohne zu wissen, dass sin'(0) existiert und 1 ergibt. Damit habe ich dann aber auch gezeigt, dass sin in Null diffbar ist, weil ich gezeigt habe, dass der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)-\sin(0)}{x - 0} \end{eqnarray*}$

existiert. Man kann also mit l'Hospital die Diffbarkeit von sin in Null zeigen.

02.03.2007, 17:32

tigerbine

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Wenn vorrausgesetzt ist, dass man die Ableitung des Sinus kennt, sehe ich keinen Grund, warum man L'Hospital nicht anwenden düfte, um den Grenzwert zu berechnen.

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02.03.2007, 17:54

AD

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Ich werfe mal noch folgende verwandte Diskussion mit in den Ring

Definition des Sinus: Geometrisch oder analytisch?

Ich bin ja, wie am Threadverlauf ersichtlich, für die geometrische Variante. In dem Sinne sehe ich es auch so, dass die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ vom logischen Aufbau her vor der Erkenntnis $\begin{eqnarray*} (\sin(x))' = \cos(x) \end{eqnarray*}$ kommt.

Allerdings bin ich nicht der Meinung, dass man das nun bei jeder kleinen Aufgabe so nachvollziehen muss: Wenn einmal $\begin{eqnarray*} (\sin(x))'=\cos(x) \end{eqnarray*}$ aus dem Unterricht heraus als bekannt vorausgesetzt werden darf, ebenso wie L'Hospital, dann spricht nichts gegen eine gemeinsame Anwendung der beiden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.03.2007, 12:49

Frooke

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Es ist möglich, dass da vielleicht etwas aneinander vorbeigeredet wird, denn ich denke, dass verschiedene Leute von verschiedenen Fällen sprechen, und da gibt es mMn zwei grössere zu unterscheiden (so wie ich das verstehe) :

Man soll die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x):=\sin x \end{eqnarray*}$ berechnen. Wenn man da bereits die Ableitung des Sinus verwendet, ist das natürlich ein Zirkelschluss (so wie ich das verstehe)...
Man will einfach in irgendeinem Kontext einen Grenzwert der Form $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} \end{eqnarray*}$ berechnen. Dieser erfüllt die Voraussetzungen von l'Hospital, und insofern sehe ich da kein Problem - so wie Arthur dies bereits erklärt hat.

mfg

05.03.2007, 13:29

WebFritzi

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Zitat:

Original von Frooke

Man soll die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x):=\sin x \end{eqnarray*}$ berechnen. Wenn man da bereits die Ableitung des Sinus verwendet, ist das natürlich ein Zirkelschluss (so wie ich das verstehe)...

Die Aufgabe ist nicht klar formuliert. Soll die Ableitung in jedem reellen x berechnet werden oder nur in einem, oder gar nur in einigen? Soll die Ableitung in Null berechnet werden, dann habe ich ich oben sogar aufgezeigt, dass das mit l'Hospital möglich ist, solange man weiß, dass für x aus IR\{0} gilt: sin'(x) = cos(x).

05.03.2007, 17:16

Frooke

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Ja, sorry, ich dachte da an jedes reelle x.

05.03.2007, 17:24

WebFritzi

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Zitat:

Original von Frooke

Man soll die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x):=\sin x \end{eqnarray*}$ berechnen. Wenn man da bereits die Ableitung des Sinus verwendet, ist das natürlich ein Zirkelschluss (so wie ich das verstehe)...

Ja, sorry, ich dachte da an jedes reelle x.

Klar ist das dann ein Zirkelschluss, passt aber nicht zum Thema...

05.03.2007, 17:27

Frooke

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EDIT: Warum, darum ging es doch in den Diskussionen meist... verwirrt

verwirrt

05.03.2007, 17:41

WebFritzi

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Zitat:

Original von Frooke
EDIT: Warum, darum ging es doch in den Diskussionen meist... verwirrt

verwirrt

Weil es hier nicht um die Berechnung von sin'(x) für alle x geht sondern um die von sin'(0).

08.03.2007, 15:38

Frooke

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Das läuft aber letztlich beides auf die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \end{eqnarray*}$ heraus, denn wie soll sin'(x) überall bekannt sein ausser in Null? Das fällt ja auch nicht vom Himmel, aber egal, ich glaube ich weiss jetzt worum's geht...

08.03.2007, 20:40

Lazarus

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Definiert man wie in Arthurs Link beschrieben den Sinus analytisch so bekommt man sehr leicht die Ableitung ...

09.03.2007, 01:06

WebFritzi

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Zitat:

Original von Frooke
Das läuft aber letztlich beides auf die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \end{eqnarray*}$ heraus, denn wie soll sin'(x) überall bekannt sein ausser in Null? Das fällt ja auch nicht vom Himmel

Ja. Aber mal angenommen, sie ist vom Himmel gefallen und man weiß auch, dass cos in Null stetig ist mit cos(0) = 1. Dann kann man mit der auch vom Himmel gefallenen Regel von l'Hospital die Ableitung des Sinus in Null berechnen.

09.03.2007, 21:37

Frooke

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Einverstanden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

11.03.2007, 12:00

klarsoweit

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Auch ich möchte hier mal den (verzweifelten) Versuch unternehmen, das ganze Thema irgendwie auf den Punkt zu bringen.

Wie allseits bekannt geht es um den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$

Wie kann man nun zeigen, daß dieser existiert und den Wert 1 hat?

Da gibt es Leute wie mYthos, die dies eher klassisch mit Einheitskreis und geeigneten Abschätzungen machen. Dies ist soweit ok und sicherlich auch eine geeignete Methode, vor allem, wenn man die Differenzierbarkeit von sin(x) zeigen will.

Wenn man nun weiß, daß sin(x) differenzierbar ist, dann weiß man auf Grund der Definition der Ableitung, daß $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0} = sin'(0) \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt kommen wir zur Regel von l'Hospital. Diese besagt:
Sind f und g in einer Umgebung von a differenzierbare Funktionen und ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~f(x) = \lim_{x \to a}~g(x) = 0 \end{eqnarray*}$ sowie der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ existent,
dann existiert auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~\frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ und es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a}~\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ .

Da mit f(x)=sin(x) und g(x)=x die Bedingungen dieser Regel erfüllt sind, darf man diese selbstverständlich auch auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ anwenden. Man will ja hier nicht die Differenzierbarkeit von sin(x) zeigen, sondern man nutzt die Tatsache, daß an anderer Stelle die Differenzierbarkeit von sin(x) schon gezeigt wurde.

Unter diesem Aspekt ist die Anwendung der l'Hospital-Regel kein Zirkelschluß. Natürlich kann man sagen, daß man damit mit Kanonen auf Spatzen schießt, das ändert aber nicht an der Zulässigkeit.

Ich weiß jetzt nicht, ob ich damit einen allgemein anerkannten Konsens erreichen konnte. Ich bitte also insbesondere die "Zirkelschluß-Anhänger" um Feedback.

11.03.2007, 13:34

Frooke

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Du bringst auf den Punkt, was ich eigentlich zu sagen versucht habe Freude

Freude

... Danke

Augenzwinkern

.

11.03.2007, 14:07

WebFritzi

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@klarsoweit: Ich finde, du bringst es nicht ganz auf den Punkt. Mal angenommen, im Beweis der Regel von l'Hospital bräuchte man die Diffbarkeit von sin in Null und auch den Wert sin'(0). Dann könnte ich die Zirkelschluss-Anhänger verstehen. Denn dann würde man sin'(0) mit Hilfe von sin'(0) berechnen. Das wäre auch nicht falsch. Aber unnötig! Die Sache ist aber zudem noch so, dass man die Diffbarkeit von sin in Null NICHT bei der Regel von l'Hospital braucht. Insofern liegen die Zirkelschluss-Anhänger in dieser Sache einfach mal total daneben.

11.03.2007, 16:02

klarsoweit

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@WebFritzi: Ich weiß, daß man streng genommen nicht die Differenzierbarkeit von f(x) im Punkt a und damit auch nicht f'(a) braucht. In unserem Beispiel braucht man also nicht die Differenzierbarkeit von sin(x) in x=0 bzw. sin'(0). Man braucht lediglich den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to a}~\frac{f'(x)}{g'(x)} \end{eqnarray*}$ . Aber selbst wenn es so wäre, würde ich nicht sin'(0) mit Hilfe von sin'(0) berechnen. Ich würde mit der l'Hospital-Regel lediglich feststellen, daß der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ gleich sin'(0) ist. Dies war aber auch nicht anders zu erwarten, da es sich bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ bekanntermaßen um den Grenzwert eines Differenzenquotienten handelt.

11.03.2007, 16:20

Leopold

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Ich finde dieses Thema nicht wirklich interessant. Viele mathematische Theorien bestehen letztlich aus Äquivalenzen. Und so ist nur die Frage, an welcher Stelle man "den Kreis betritt".
Eine viel interessantere Frage ist ja die Angemessenheit der L'Hospital-Methode für dieses Problem, wie sie klarsoweit schon angesprochen hat. Das Ganze erinnert mich irgendwie an Leute, die den Flächeninhalt eines Dreiecks mit $\begin{eqnarray*} a = 6, h_a = 4 \end{eqnarray*}$ mit der Trapezformel berechnen:

$\begin{eqnarray*} a = 6, c = 0, h_a = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F = \frac{1}{2} \left( a + c \right) \cdot h_a = \frac{1}{2} \left( 6 + 0 \right) \cdot 4 = 12 \end{eqnarray*}$

Falsch ist das natürlich nicht ...
Aber eigentlich wurde die Trapezformel einmal mit Hilfe der Dreiecksformel hergeleitet.

12.03.2007, 02:08

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold: Und genau das ist es ja. Dein Beispiel passt hier nicht ganz. Das versuche ich doch die ganze Zeit zu erklären. Bei deinem Beispiel hätte man auch gleich die Dreiecksformel verwenden können, die ja in der Trapezformel steckt. Also, eigentlich benutzt man die Dreicksformel. Man macht es sich nur komplizierter. Beim hiesigen Problem geht es um die Berechnung von sin'(0). Wenn ich hier l'Hospital anwende, dann benutze ich (indirekt) an keiner Stelle eine andere Berechnung von sin'(0). Verstehst du, was ich meine?

12.03.2007, 06:59

Airblader

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Wenn ich mal meinen unfachmännischen Kommentar dazu abgeben darf:

Es gibt hier doch 2 Probleme:
- Der Beweis für die Ableitung d. Sinus in 0
- Der Grenzwert von sin(x)/x für x->0.

Nun läuft - wie in der 1. Antwort von mythos beschrieben - die Ableitung auf eine Abschätzung raus, wenn ich das so richtig verstanden hatte.
Will ich nun also das 2. Problem betrachten und wende l'Hospital an, so mache ich doch nichts anderes, als den Beweis der Ableitung d. Sinus nochmal zu gehen - nur anders ausgedrückt, oder?

Die Zulässigkeit, dass das x im Nenner durch l'Hospital zur 1 und damit "vernachlässigbar" wird (man muss es halt nicht mehr schreiben, um es salopp auszudrücken) ist doch kaum umstritten. Und wenn ich dann den Zähler - also sin(x) - ableite, um es für l'Hospital zu nutzen benutze ich den Beweis für die Ableitung des Sinus -> wurde erbracht wie im ersten Post von mythos gesagt.

Tut mir wirklich Leid, ich sehe das Problem der ganzen Diskussion nicht ?! Letztendlich sind beide "Probleme" ein- und dasselbe, nur, dass man das 2. auch mit l'Hospital machen kann, wenn das erste schon ausführlich gemacht werde, genauso, wie ich in einer Aufgabe die Herleitung für sin'(0) nicht jedesmal neu aufschreiben muss.

air

12.03.2007, 11:12

WebFritzi

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Zitat:

Original von Airblader
Es gibt hier doch 2 Probleme:
1. Der Beweis für die Ableitung d. Sinus in 0
2. Der Grenzwert von sin(x)/x für x->0.

Also ein und dasselbe Problem, denn zwischen 1. und 2. besteht kein Unterschied.

12.03.2007, 11:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Beim hiesigen Problem geht es um die Berechnung von sin'(0). Wenn ich hier l'Hospital anwende, dann benutze ich (indirekt) an keiner Stelle eine andere Berechnung von sin'(0). Verstehst du, was ich meine?

Hmm. Also so ganz bin ich nicht dabei. Eigentlich geht es um die Berechnung des Grenzwerts $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ . Mit l'Hospital findet man den Wert sin'(0). Das hilft aber einem nicht wirklich weiter, denn für einen konkreten Wert braucht man jetzt die Kenntnis der Ableitung von sin(x), zumindest an der Stelle Null. So bleibt einem nichts anderes übrig, als die Ableitung von sin(x) auf irgendeine andere Weise herzuleiten.

EDIT: was die Anwendung von l'Hospital angeht, habe ich nach meinem Beitrag von gestern keinen echten Widerspruch gesehen.

12.03.2007, 12:03

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

@klarsoweit: Ich verstehe dich nicht so ganz.

Zitat:

Original von klarsoweit
Hmm. Also so ganz bin ich nicht dabei. Eigentlich geht es um die Berechnung des Grenzwerts $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .

Ja, also sin'(0).

Zitat:

Original von klarsoweit
Mit l'Hospital findet man den Wert sin'(0).

Naja klar, den Wert will man ja ausrechnen. Aber zuerst findet man mit l'Hospital den Grenzwert von sin'(x) für x -> 0.

Zitat:

Original von klarsoweit
Das hilft aber einem nicht wirklich weiter, denn für einen konkreten Wert braucht man jetzt die Kenntnis der Ableitung von sin(x), zumindest an der Stelle Null.

Erstens verstehe ich nicht so ganz, was du damit ausdrücken willst, und zweitens stimmt das letzte einfach nicht, denn bei der Anwendung von l'Hospital braucht man nix von der Ableitung an der Stelle Null. Man braucht
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\cos(x). \end{eqnarray*}$
Das ist aber erstmal etwas ganz anderes.

Zitat:

Original von klarsoweit
So bleibt einem nichts anderes übrig, als die Ableitung von sin(x) auf irgendeine andere Weise herzuleiten.

Drück dich klarer aus. Welche Ableitung? Die in Null? Dann: Falsch! Die in IR\{0}? Dann: Genau!

12.03.2007, 12:21

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von klarsoweit
Hmm. Also so ganz bin ich nicht dabei. Eigentlich geht es um die Berechnung des Grenzwerts $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ .

Ja, also sin'(0).

Ja und nein. Zunächst sehe mal sehe ich dies: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ . Ich wollte gar nicht sin'(0) berechnen, sondern nur diesen Grenzwert (weil mich meinetwegen irgendein Nachhilfeschüler danach fragt) und ich übersehe jetzt, daß da eigentlich ein Differenzenquotient drinsteckt und daß das (sofern der Grenzwert existiert) sin'(0) ist.

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von klarsoweit
Mit l'Hospital findet man den Wert sin'(0).

Naja klar, den Wert will man ja ausrechnen. Aber zuerst findet man mit l'Hospital den Grenzwert von sin'(x) für x -> 0.

Wie gesagt: ich will gar nicht sin'(0) berechnen, sondern nur den Grenzwert.

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von klarsoweit
Das hilft aber einem nicht wirklich weiter, denn für einen konkreten Wert braucht man jetzt die Kenntnis der Ableitung von sin(x), zumindest an der Stelle Null.

Erstens verstehe ich nicht so ganz, was du damit ausdrücken willst, und zweitens stimmt das letzte einfach nicht, denn bei der Anwendung von l'Hospital braucht man nix von der Ableitung an der Stelle Null. Man braucht
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\cos(x). \end{eqnarray*}$
Das ist aber erstmal etwas ganz anderes.

Da habe ich unsauber gedacht. Man braucht die Ableitung von sin(x) außerhalb von Null und dann den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von WebFritzi

Zitat:

Original von klarsoweit
So bleibt einem nichts anderes übrig, als die Ableitung von sin(x) auf irgendeine andere Weise herzuleiten.

Drück dich klarer aus. Welche Ableitung? Die in Null? Dann: Falsch! Die in IR\{0}? Dann: Genau!

Also genauer: Man braucht die Ableitung von sin(x) außerhalb von Null in einer Umgebung von Null.

12.03.2007, 12:27

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und wo widersprechen wir uns jetzt? Ich denke gar nicht. Ich wollte dir weiter oben auch nicht sagen, dass du Unrecht hast. Wollte dich nur zu etwas mehr Genauigkeit auffordern. Nun weiß ich, was genau du meinst und stelle fest, dass ich genauso denke. Vielen Dank. Wink

Wink

12.03.2007, 13:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von WebFritzi
Ja, und wo widersprechen wir uns jetzt?

Im wesentlichen nicht. Es ging mir eigentlich nur darum, herauszustellen, daß die Motivation, den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ zu berechnen, nicht unbedingt daher kommen muß, daß man sin'(0) bestimmen will. Man kann sich ja auch so für den Grenzwert interessieren. Einfach, weil er irgendwie schön aussieht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.03.2007, 13:05

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so, verstehe.

27.03.2007, 11:27

Arthur4

Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, ich habe mir zwar nicht alles durchgelesen,

aber der Sinus ist doch auch als Potenzreihe definiert, warum verwendet ihr nicht einfach diese um den Grenzwert zu bestimmen?

MfG

27.03.2007, 12:03

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher könnte man das. Das ist aber nicht das Thema. Es ging bzw. geht um die Frage, ob man bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ die Regel von l'Hospital anwenden darf oder nicht.

27.03.2007, 12:10

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

ich finde man darf L' Hospital anwenden, weil man wie gesagt $\begin{eqnarray*} \sin'(x) = \cos(x) \end{eqnarray*}$ ja auch über die Potenzreihen beweisen kann.

bei uns wurde Sinus als Potenzreihe eingeführt und dann durch gliedweises differenzieren der Potenzreihe festgestellt, dass die Ableitung der Cosinus ist. Bei dem Beweis hat man nirgends den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ gebraucht!

Auch, dass $\begin{eqnarray*} \cos(1) = 0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich aus den Potenzreihen.

Und alleine aus diesen Potenzreihen kann man alle Eigenschaften von Kosinus und Sinus beweisen, wie sie auch in der Schule eingeführt werden.

ist das Problem damit endlich beseitigt?

27.03.2007, 12:50

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne. Das war auch vorher jedem klar.

27.03.2007, 13:09

Sunwater

Auf diesen Beitrag antworten »

dann verstehe ich das Problem nicht...

es ist doch kein Ringschluss, wenn ich auf die eine Aussage auch anders komme?!

27.03.2007, 13:38

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

dann nochmal für dich: Der zu berechnende Grenzwert ist per Definition (Differentialquotient) die Ableitung des Sinus im Punkt Null: sin'(0). Es ist also diese Ableitung zu berechnen. Wenn du nun l'Hospital verwendest, leitest du den Sinus ab, was - nach der Meinung der Zirkelschlussanhänger - ja eigentlich von Anfang an zu tun war.

27.03.2007, 13:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Ringschluß würde dann vorliegen, wenn beispielsweise beim Beweis der Differenzierbarkeit von sin(x) genutzt würde, daß sin(x) differenzierbar ist. Irgendwas in der Art behaupten die Ringschlußvertreter, wenn es um die Anwendung der l'Hospital-Regel bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}~\frac{sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ geht. Die Ringschlußablehner (und dazu zähle ich mich) sagen eben, daß da kein Ringschluß ist.

Meiner Meinung nach haben hier die Ringschlußvertreter die Argumente der Ringschlußablehner bislang nicht widerlegen können. Im Gegenteil: die Ringschlußablehner konnten zeigen, daß eben kein Ringschluß vorliegt. Ich weiß allerdings nicht, wie das Verstummen der Ringschlußvertreter zu bewerten ist: Tiefere Einsicht, daß die Ringschlußablehner recht haben oder pure Unlust, weil man sich mit den Ringschlußablehnern nicht abgeben möchte.

27.03.2007, 13:49

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Meiner Meinung nach haben hier die Ringschlußvertreter die Argumente der Ringschlußablehner bislang nicht widerlegen können.

So sieht's IMHO auch aus.

Zitat:

Original von klarsoweit
Ich weiß allerdings nicht, wie das Verstummen der Ringschlußvertreter zu bewerten ist: Tiefere Einsicht, daß die Ringschlußablehner recht haben oder pure Unlust, weil man sich mit den Ringschlußablehnern nicht abgeben möchte.

Würd ich auch gern wissen. Die Ringschlussbefürworter mögen dieses als Aufforderung auffassen, sich zu Wort zu melden. Wink

Wink

27.03.2007, 14:59

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich gehöre ja zu einer Minderheit von Leuten hier - schluchz! traurig

traurig

-, die anscheinend überhaupt niemand zur Kenntnis nimmt - kreisch! geschockt

geschockt

. Mir ist es nämlich vollkommen egal, ob da ein Ringschluß vorliegt oder nicht. Ich halte einfach die Lösungsmethode für absolut und kategorisch inadäquat. Es gibt also nicht nur die Circulusvitiosenser und Hospitalisten, sondern auch die Inadäquataner.

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