Steckbriefaufgabe vierten Grades |
| 06.12.2013, 16:18 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Steckbriefaufgabe vierten Grades wie bestimmt man den Funktionsterm einer ganz-rationalen Funktion vierten Grades? Der Graph einer ganz-rationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, schneidet die x-Achse an den Stellen x = 5 und x = -2 und verläuft durch den Punkt (1/-72). Wie kann man jetzt den Funktionsterm bestimmen und den Verlauf des Graphen qualitativ beschreiben? Die Formel lautet ja: f(x) = ax4 +bx³ + cx² +dx + e Aber wie kommt man nun auf den Funktionsterm? |
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| 06.12.2013, 16:19 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nutze alle Angaben in dem Text um Bedingungen aufzustellen. Außerdem kannst du die Funktionsgleichung etwas reduzieren. Wie? |
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| 06.12.2013, 16:27 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei den Bedingungen müsste das rauskommen: f (5/0) f (-2/0) f (1/-72) Wie muss man die Punkte jetzt einsetzen, um die Lösung zu bekommen? |
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| 06.12.2013, 16:35 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du würdest diese Punkte nun in deine Funktionsgleichung einsetzen. Die x-Koordinate für x und die y-Koordinate für y. Du hast jetzt noch das Problem, dass du nur drei solcher Bedingungen hast. Zur Zeit sind in deiner Funktionsgleichung jedoch noch 5 unbekannte Koeffizienten Allerdings findest du in der Aufgabenstellung noch eine Bedingung, welche dieses Problem löst. Welche wäre das? |
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| 06.12.2013, 16:43 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kann ansonsten nur noch den Hinweis, dass der Graph dieser Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, entdecken? Hat es etwas damit zu tun oder wie findet man die vierte Bedingung? |
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| 06.12.2013, 16:52 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit der achsensymmetrie ist genau richtig. Was muss denn für eine achsensymmetrische Funktion gelten? Wie sehen die Exponenten aus? |
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| 06.12.2013, 16:57 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann müssten im Funktionsterm nur gerade Exponenten vorkommen oder? |
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| 06.12.2013, 17:01 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Also haben wir nur die Funktionsgleichung: f(x)=ax^4+bx^2+c Somit drei Variable und das können wir mit unseren drei Bedingungen lösen. |
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| 06.12.2013, 17:06 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und welche Bedingung muss man jetzt in welchen Koeffizienten eintragen? Es gilt ja die Gleichung: f(x)=ax^4+bx^3+c |
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| 06.12.2013, 17:10 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die drei im Exponenten muss natürlich eine zwei sein (Tippfehler).
Jede Bedingung stellt eine eigene Gleichung da. Davon hast du dann drei Stück, also ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Das kannst du dann lösen. Dazu setzt du dann die Punkte ein. x-Koordinate für x und y-Koordinate für y. Die erste Bedingung, der Punkte (5|0) f(5)=0 Also: Für die anderen Gleichungen gehst du genau so vor. |
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| 06.12.2013, 17:17 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also müsste es bei den beiden anderen so lauten? |
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| 06.12.2013, 17:19 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber auch nicht die Klammern um die erste -2 vergessen: Das entstandene LGS kannst du nun mit einem Verfahren deiner Wahl (Einsetzungs, Gleichsetzungs, Addition/Subtraktionsverfahren) lösen. |
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| 08.12.2013, 17:18 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Und wie kann den Funktionsterm ohne Rechnung, also nur anhand der Symmetrie und den Informationen bestimmen sowie den Verlauf beschreiben? |
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| 08.12.2013, 17:23 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ehrlich gesagt verstehe ich deine Frage nicht ganz. Könntest du diese konkretisieren? Was möchtest du genau machen? |
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| 08.12.2013, 17:27 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann man den Funktionsterm, den man erhält, wenn man ein Verfahren zum Lösen des LGS verwendet, nur durch die Informationen in der Aufgabenstellung bestimmen, sprich ohne Rechnung. Und wie kann man den Verlauf des Graphen, ohne Rechnung, beschreiben? |
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| 08.12.2013, 17:32 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Möglichkeit die Funktionsgleichung zu bestimmen ohne zu rechnen wüsste ich nicht. Wenn du den Verlauf des Graphen beschreiben möchtest, dann kannst du ja die Informationen aus dem Text verwenden, aber eigentlich verstehe ich den Sinn der Frage noch immer nicht ganz. Ist das eine Teilaufgabe? |
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| 08.12.2013, 17:34 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, man soll den Verlauf des Graphen möglichst genau beschreiben und skizzieren, aber nur mit Hilfe der Aufgabenstellung. Wie kann man hierbei vorgehen? |
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| 08.12.2013, 17:37 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Trage zu erst in ein Koordinatensystem alle bekannten Punkte ein. Dann beachte, dass der Funktionsgraph symmetrisch zur y-Achse ist und überlege dir wie nun die Funktion zu zeichnen wäre. |
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| 08.12.2013, 17:48 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe jetzt die Punkte f (5/0), f (-2/0) und f (1/-72) eingetragen, aber wie erkennt man jetzt wie man den Graph einzeichnen soll? |
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| 08.12.2013, 17:59 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im Prinzip kannst du ja die Punkte (5|0) (-2|0) und (1|-72) eintragen. Aber auch (-5|0) (2|0 und (-1|-72), weil die Funktion ja symmetrisch zur y-Achse ist. Für x=1 ist der y-Wert -72, wird die Funktion also eher nach unten oder nach oben geöffnet sein. Sieht sie also eher wie ein M oder wie ein W aus? Dann musst du noch bedenken, dass zwischen den Nullstellen jeweils Hoch oder Tiefpunkte liegen. |
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| 08.12.2013, 18:06 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da es ja ein negatives Vorzeichen hat, müsste es nach oben geöffnet sein oder? Habe jetzt auch die anderen Punkte eingetragen, aber bis wohin muss man die verbinden, weil kein Scheitelpunkt angegeben ist? |
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| 08.12.2013, 18:09 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, also das mit dem nach oben oder nach unten geöffnet ist hier natürlich nicht wirklich eindeutig wie bei einer quadratischen Funktion. Da die Funktion ein negatives Vorzeichen hat, also der Koeffizient von dem x^4 negativ ist, ist die Funktion "nach unten geöffnet" auch wenn sie auf einem gewissen Intervall so aussieht als wäre sie nach oben geöffnet. Für immer größere, oder kleinere x-Werte wird die Funktion aber immer "negativer". |
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| 08.12.2013, 18:16 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, habe jetzt die Punkte f (5/0), f (-5/0), f (-2/0), f (2/0), f (1/-72) und f (-1/-72). Wie muss man die jetzt genaue verbinden, damit der Graph richtig entsteht? Muss man jetzt von (-5/0) zu (-1/-72) eine Kurve zeichnen oder wie? |
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| 08.12.2013, 18:27 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du fängst irgendwo "ganz unten links" an und ziehst nun die Linie durch alle Punkte durch. Das ist ein wenig blöd zu erklären. Am besten zeichnest du einfach mal wie du meinst und lässt dir dann den Funktionsgraph plotten und guckst wie du abgeschnitten hast. |
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| 08.12.2013, 18:39 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe als Funktionsterm f(x)=-x²+29x-100 raus. Wie kann ich das jetzt mit dem Plotter überprüfen? |
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| 08.12.2013, 18:46 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da gibt es ganz viele im Internet, einfach mal nach Funktionsplotter googeln und dann die Funktionsgleichung eingeben, oder mit dem Funktionsplotter hier im Board: |
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| 08.12.2013, 18:47 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und woran erkennt man jetzt, ob es stimmt oder nicht? |
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| 08.12.2013, 18:49 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du der Meinung bist ob es ähnlich aussieht oder nicht. Wie gesagt, bei diesen Fragen kann man dir eigentlich eher nicht helfen, wie du etwas am besten zeichnen kannst. |
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| 08.12.2013, 18:55 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Letzte Frage: Wieso muss ausgerechnet beim Punkt ca. (-4/100) die Kurve wieder zurück in Richtung (0/-100) hin (also der Wendepunkt)? Dieser Punkt war ja nicht angeben. |
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| 08.12.2013, 19:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du meinst hier eher einen Extrempunkt bei ca. (4|100) Zwischen den Nullstellen der Funktion müssen Extrempunkte liegen, weil die Steigung einen Vorzeichenwechsel vollziehen muss. Zu erst haben wir eine positive Steigung und schneiden die x-Achse. Da die x-Achse nochmal geschnitten werden muss, brauchen wir eine negative Steigung und so entsteht dann beim zeichnen automatisch ein Extrempunkt, als wechsel von positiver zu negativer Steigung. |
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| 08.12.2013, 19:06 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Woher weiß man dann, dass dieser Extrempunkt bei etwa (4/100) liegt? Muss man etwas in den Funktionsterm einsetzen? |
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| 08.12.2013, 19:15 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wirklich wissen wo er liegt weiß man nicht. Man weiß nur, dass zwischen den Nullstellen einer liegen muss. Wenn du wissen willst wo er exakt liegt, dann musst du ihn nachrechnen, aber das ist ja nicht der Sinn der Aufgabe. Es ist nicht schlimm wenn er nicht da liegt wo er eigentlich sein soll. Hauptsache du triffst ihn in etwa, oder die Grundform des Funktionsgraphen ist wenigstens richtig. Das es zum Beispiel eher wie ein M aussieht und nicht wie ein W. Aber wie gesagt, bei dieser Frage kann ich dir nicht wirklich helfen. Es ist halt einfach zeichnen. Auf Genauigkeit kommt es erstmal nicht an. Wenn es aussieht wie ein M und du alle Punkte triffst, dann wirst du wohl auf der richtigen Seite sein. |
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| 08.12.2013, 19:19 | Fragewurm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann ist es ja gut. Besten Dank soweit. |
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| 08.12.2013, 19:21 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gern geschehen. |
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