Untervektorraum prüfen - Seite 2

07.12.2013, 15:14

Begriffsstutzig

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irgendwie bin ich grad vollkommen verzweifelt, weil ich ja anscheinend nicht mal in der Lage bin, solche Sachen zu begreifen.

Bei c) habe ich ja das Problem, dass ich $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ statt einfach nur x habe, und dass da nicht z sondern $\begin{eqnarray*} -z^2 \end{eqnarray*}$ steht und ich weiß einfach nicht, wie ich das umsetzen soll. anscheinend ist ja die 1:1 Übertragung von b auf c nicht richtig

07.12.2013, 15:25

RavenOnJ

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Die Nebenbedingung in (c) lautet für einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} v := (x,y,z) \end{eqnarray*}$ in der betrachteten Vektormenge:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2-z^2=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt setze mal die Komponenten von $\begin{eqnarray*} v_3 := v_1+v_2 = (x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) \end{eqnarray*}$ in diese Nebenbedingung ein und prüfe, ob sie für alle erlaubten Vektoren erfüllt sein kann.

07.12.2013, 15:43

Begriffsstutzig

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das habe ich doch so da oben hingeschrieben, oder nicht (das, was rot angestrichen wurde)

wenn ich das da einsetze, habe ich dann

$\begin{eqnarray*} (x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2 - (z_1+z_2)^2 = 0<br /> aber das ist nicht gleich x^2+y^2+z^2=0 ?? \end{eqnarray*}$

07.12.2013, 15:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
das habe ich doch so da oben hingeschrieben, oder nicht (das, was rot angestrichen wurde)

wenn ich das da einsetze, habe ich dann

$\begin{eqnarray*} {\color{green}(x_1+x_2)^2 + (y_1+y_2)^2 - (z_1+z_2)^2 = 0}<br /> aber das ist nicht gleich x^2+y^2{\color{red}+}z^2=0 ?? \end{eqnarray*}$

Was soll denn jetzt $\begin{eqnarray*} x^2+y^2 {\color{green}-}z^2=0 \end{eqnarray*}$ sein? Das ist doch nur die Nebenbedingung für einen ganz allgemeinen Vektor. Das Grüne ist immerhin richtig und da musst du jetzt weitermachen.

07.12.2013, 16:23

Begriffsstutzig

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das mit + war ein Tippfehler....

$\begin{eqnarray*} x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2 -z_1^2 - 2z_1z_2 -z_2^2 = 0 \end{eqnarray*}$
?? aber das kann ich ja nicht weiter zusammenfassen oder so...
ich weiß nicht, was ich damit anfangen soll.

07.12.2013, 16:28

RavenOnJ

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Das kannst du jetzt auf alle Fälle erst mal vereinfachen, indem du die Nebenbedingungen für $\begin{eqnarray*} v_1,v_2 \end{eqnarray*}$ berücksichtigst.

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07.12.2013, 16:29

Begriffsstutzig

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$\begin{eqnarray*} x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 + 2y_1y_2 + y_2^2 -z_1^2 - 2z_1z_2 -z_2^2 = 0 <br /> <br /> <br /> (x_1^2 + x_2^2) +( y_1^2 + y_2^2) - (z_1^2 + z_2^2) (+ 2x_1x_2 + 2y_1y_2 - 2z_1z_2) = 0 <br /> <br /> <br /> (x_1^2 + y_1^2 -z_1^2) + (x_2^2 + y_2^2 -z_2^2) + (2x_1x_2 + 2y_1y_2 - 2z_1z_2 )= 0 <br /> <br /> 0 + 0 + (2x_1x_2 + 2y_1y_2 - 2z_1z_2 )= 0 <br /> <br /> <br /> <br /> \end{eqnarray*}$

07.12.2013, 16:31

RavenOnJ

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Genau! Wenn $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ die Nebenbedingung erfüllen würde, dann müsste diese Gleichung gelten. Und? Gilt sie im Allgemeinen für beliebige $\begin{eqnarray*} x_i,y_i,z_i \end{eqnarray*}$ ?

07.12.2013, 16:34

Begriffsstutzig

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nein, weil je nach dem, was ich für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, ... \end{eqnarray*}$ einsetzte, kann die Gleichung nicht stimmen.....?

07.12.2013, 16:39

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
nein, weil je nach dem, was ich für $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, ... \end{eqnarray*}$ einsetzte, kann die Gleichung nicht stimmen.....?

Sie kann schon stimmen, muss es aber nicht unter allen Umständen. Was folgt also?

07.12.2013, 16:47

Begriffsstutzig

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c ist keine Teilmenge eines Untervektorraums.

Ich kann mir den Schritt mit der Multiplikation sparen, was die zweite Hinreichende Bedingung gewesen wäre, weil ich ja schon bewiesen habe, dass das nicht stimmt. Richtig?

aber dazu hätte ich ne Frage:

Wenn ich das trotzdem machen würde, wäre das hier richtig?

$\begin{eqnarray*} v_4 = \lambda * v = \lambda (x, y, z) = (\lambda x, \lambda y, \lamda z)<br /> <br /> \lambda^2 x^2 + \lambda^2 y^2 -\lambda^2 z^2 = 0<br /> <br /> \lambda^2 (x^2 + y^2 - z^2) = 0<br /> <br /> \lambda^2 *0 = 0<br /> <br /> \Rightarrow es könnte ein Untervektorraum sein \end{eqnarray*}$

07.12.2013, 16:52

Begriffsstutzig

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$\begin{eqnarray*} v_4 = \lambda * v = \lambda (x, y, z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)<br /> <br /> \lambda^2 x^2 + \lambda^2 y^2 -\lambda^2 z^2 = 0<br /> <br /> \lambda^2 (x^2 + y^2 - z^2) = 0<br /> <br /> \lambda^2 *0 = 0<br /> <br /> \Rightarrow \end{eqnarray*}$ es könnte ein Untervektorraum sein

07.12.2013, 17:50

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
c ist keine Teilmenge eines Untervektorraums.

Was soll das jetzt bedeuten? Achte mal bitte auf deine Formulierungen.

Zitat:

Ich kann mir den Schritt mit der Multiplikation sparen, was die zweite Hinreichende Bedingung gewesen wäre, weil ich ja schon bewiesen habe, dass das nicht stimmt. Richtig?

Das ist - bis auf das Rote - richtig, da eine notwendige Bedingung bereits nicht erfüllt ist, wie du gerade gezeigt hast.

Übrigens: Wenn du zwei Bedingungen hast, die beide notwendigerweise erfüllt sein müssen, dann ist die gleichzeitige Erfüllung beider Bedingungen nur dann hinreichend, wenn keine weitere Bedingung notwendigerweise erfüllt sein muss. Du kannst also nicht davon sprechen, dass es "eine zweite hinreichende Bedingung" gibt. Die Bedingungen sind nur in ihrer Gesamtheit hinreichend. Jede einzelne Bedingung ist notwendig.

Zitat:

aber dazu hätte ich ne Frage:

Wenn ich das trotzdem machen würde, wäre das hier richtig?

$\begin{eqnarray*} v_4 = \lambda * v = \lambda (x, y, z) = (\lambda x, \lambda y, \lambda z)<br /> <br /> \lambda^2 x^2 + \lambda^2 y^2 -\lambda^2 z^2 = 0<br /> <br /> \lambda^2 (x^2 + y^2 - z^2) = 0<br /> <br /> \lambda^2 *0 = 0<br /> <br /> \Rightarrow \text{ es könnte ein Untervektorraum sein} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Aufgrund der Erfüllung dieser Bedingung, könnte das ein UVR sein.

07.12.2013, 18:05

Begriffsstutzig

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danke,

wäre die Formulierung richtig?
Bei c) handelt es sich nicht um eine Teilmenge des Untervektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

und ich habe zur Vollständigkeitshalber noch eine Frage:
und zwar habe ich eine ähnlich Aufgabe gefunden, wie die c) nur da steht statt
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2-z^2 = 0<br /> x^2 -y^2 = 0 \end{eqnarray*}$
obwohl meine Teilmenge immer noch (x, y, z) ist.

ich hätte das alles genau so wie bei der c gemacht, nur dass ich beim Einsetzen z nicht beachten muss, also:

$\begin{eqnarray*} 0^2 + 0^2 = 0 \end{eqnarray*}$
Nullpunkt ist enthalten

$\begin{eqnarray*} 0+0+(2x_1x_2-2y_1y_2) = 0 \end{eqnarray*}$

--> Teilmenge ist kein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

07.12.2013, 22:29

Begriffsstutzig

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haben meine Gehirnzellen wieder nicht gereicht und war das falsch...?

07.12.2013, 22:30

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
wäre die Formulierung richtig?
Bei c) handelt es sich nicht um eine Teilmenge des Untervektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

Nein, auch das ist nicht richtig, da
1.) $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ nicht Untervektorraum ist, sondern der gesamte Vektorraum (Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ auch einer der beiden trivialen Unterräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ist, ignoriere ich jetzt erst mal. Der andere triviale Unterraum ist $\begin{eqnarray*} \{0\} \end{eqnarray*}$ .)
2.) die Vektormenge sehr wohl eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ist, aber kein Unter(vektor)raum. (Das "vektor" lässt man oft weg, da klar ist, was gemeint ist.)

Zitat:

und ich habe zur Vollständigkeitshalber noch eine Frage:
und zwar habe ich eine ähnlich Aufgabe gefunden, wie die c) nur da steht statt
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2-z^2 = 0<br /> x^2 -y^2 = 0 \end{eqnarray*}$
obwohl meine Teilmenge immer noch (x, y, z) ist.

Hier sprichst du schon wieder im falschen Zusammenhang von "Teilmenge". Dieses (x,y,z) ist eine Variable mit drei Parametern, nämlich x, y und z, ein variables Tripel. Eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist diese Menge beispielsweise:
$\begin{eqnarray*} \{(x,y,z)\in\mathbb R^3| x^2-y^2=0\} \end{eqnarray*}$

Die geschweiften Klammern symbolisieren eine Menge.

Zitat:

ich hätte das alles genau so wie bei der c gemacht, nur dass ich beim Einsetzen z nicht beachten muss, also:

$\begin{eqnarray*} 0^2 + 0^2 = 0 \end{eqnarray*}$
Nullpunkt ist enthalten

$\begin{eqnarray*} 0+0+(2x_1x_2-2y_1y_2) = 0 \end{eqnarray*}$

--> Teilmenge ist kein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

Du hast jetzt zwar Schritte übersprungen, aber im Prinzip ist das richtig. Wenn du übrigens sofort siehst, dass der Nullpunkt enthalten ist, dann musst du diese Tatsache nicht extra erwähnen, da dies auch automatisch aus dem Axiom zur skalaren Multplikation folgt. Es wäre also eher das zu zeigen, wenn das Axiom zur Addition erfüllt ist. Mit etwas Erfahrung sieht man sofort, bei welchem Unterraumkriterium es klemmt. Beispielsweise bei den nicht-linearen Nebenbedingungen (es kommen Quadrate oder höhere Potenzen vor) knallt es wahrscheinlich beim Axiom zur Vektoraddition.

Die Prüfung, ob der Nullpunkt enthalten ist, erwähnt man eigentlich nur dann, wenn er nicht enthalten ist, da man damit ein sehr einfaches Kriterium dafür hat, dass kein UVR vorliegt.

07.12.2013, 22:51

Begriffsstutzig

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Die Aufgabenstellung sagt doch:
"Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Teilmengen um Untervektorräume des R3
handelt."
Dann müsste der Antwortsatz doch lauten: "Bei der Teilmenge c handelt es sich nicht um Unter(vektor)raum des R3."

Bei d) kann man doch sowieso die Probe nach der Nullstelle nicht machen, weil da im Tripel (?) keine Variablen drin sind, oder?

ist das dann bei Addition
$\begin{eqnarray*} v = [(2\lambda + 7\mu) , (3\lambda + 11\mu) , (5\lambda + 13\mu)] \end{eqnarray*}$

muss ich dann nach gucken ob
$\begin{eqnarray*} 2\lambda + 7\mu + 3\lambda + 11\mu + 5\lambda + 13\mu = 0 \end{eqnarray*}$
?
oder ist das falsch, weil ich ja diesmal keine Nebenbedingung gegeben habe, wo steht, dass da null rauskommen soll?

07.12.2013, 23:09

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
Die Aufgabenstellung sagt doch:
"Untersuchen Sie, ob es sich bei den folgenden Teilmengen um Untervektorräume des R3
handelt."
Dann müsste der Antwortsatz doch lauten: "Bei der Teilmenge c handelt es sich nicht um Unter(vektor)raum des R3."

Was soll denn in dem Zusammenhang das Wörtchen "doch", als ob du oben die Lösung richtig hingeschrieben hättest. Ich zitiere nochmal, was du geschrieben hast, und du vergleichst mal bitte mit dem, was du jetzt schreibst:

Zitat:

Original von Begriffsstutzig

Bei c) handelt es sich nicht um eine Teilmenge des Untervektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$

Das ist etwas vollkommen anderes als:

Zitat:

"Bei der Teilmenge c handelt es sich nicht um [einen] Unter(vektor)raum des R3."

Ich hoffe, du siehst den gravierenden Unterschied.

Zitat:

Bei d) kann man doch sowieso die Probe nach der Nullstelle nicht machen, weil da im Tripel (?) keine Variablen drin sind, oder?

ist das dann bei Addition
$\begin{eqnarray*} v = [(2\lambda + 7\mu) , (3\lambda + 11\mu) , (5\lambda + 13\mu)] \end{eqnarray*}$

muss ich dann nach gucken ob
$\begin{eqnarray*} 2\lambda + 7\mu + 3\lambda + 11\mu + 5\lambda + 13\mu = 0 \end{eqnarray*}$
?
oder ist das falsch, weil ich ja diesmal keine Nebenbedingung gegeben habe, wo steht, dass da null rauskommen soll?

Natürlich sind da Variablen, nämlich $\begin{eqnarray*} \lambda,\mu \end{eqnarray*}$ . Wenn die 0 sind, ist jede einzelne Vektorkomponente 0, der Nullpunkt ist also enthalten.

07.12.2013, 23:19

Begriffsstutzig

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ach so, also kann ich dann bei der e) sagen:

$\begin{eqnarray*} v =(1-2\lambda, 2-4\lambda, -7+14\lambda) <br /> <br /> 1-2*0 + 2-4*0 -7+12*0 = -4 \neq 0 \end{eqnarray*}$

der Nullpunkt ist nicht enthalten, es handelt sich nicht um einen Untervektor des U3

07.12.2013, 23:27

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
ach so, also kann ich dann bei der e) sagen:

$\begin{eqnarray*} v =(1-2\lambda, 2-4\lambda, -7+14\lambda) <br /> <br /> {\color{red}1-2*0 + 2-4*0 -7+12*0 = -4 \neq 0 } \end{eqnarray*}$

Was hast du bloß immer mit dieser Summe? Die tauchte nur in (b) als Nebenbedingung auf. In (e) nicht!

Zitat:

der Nullpunkt ist nicht enthalten, es handelt sich nicht um einen Untervektor des U3

Das solltest du nochmal überdenken.

07.12.2013, 23:30

Begriffsstutzig

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ja aber ich weiß sonst einfach nicht, wie ich d und e lösen soll, weil für mich sieht das schon wieder ganz anders aus als vorhin...
Ehrlichgesagt habe ich mich schon damit abgefunden, dass ich anscheinend einfach zu dumm für die Hochschulmathematik bin

07.12.2013, 23:56

RavenOnJ

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Natürlich sehen die Mengenspezifikationen in (d) und (e) ganz anders aus, als in (a),(b) oder (c).

Es ist dir hoffentlich klar, dass mit Nullpunkt der Vektor (0,0,0) gemeint ist.

Ich hoffe, du siehst wenigstens in der (d), dass der Nullpunkt enthalten ist. Bei (e) ist das nicht ganz so offensichtlich. Scheinbar hat man da nur eine parametrisierte Gerade $\begin{eqnarray*} \lambda(-2,-4,14) \end{eqnarray*}$ die an dem Stützvektor $\begin{eqnarray*} (1,2,-7) \end{eqnarray*}$ angeheftet ist. Im allgemeinen Fall würde es sich dabei i.d.R. nicht um einen UVR handeln, in diesem speziellen aber schon, da die Gerade durch den Nullpunkt geht.

Zitat:

Original von Begriffsstutzig
Ehrlichgesagt habe ich mich schon damit abgefunden, dass ich anscheinend einfach zu dumm für die Hochschulmathematik bin

Das ist auch eine Sache der Gewöhnung, vielen fällt es am Anfang schwer. Es muss halt irgendwann der Aha-Moment kommen.

08.12.2013, 00:06

Begriffsstutzig

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ja, dass der Nullpunkt (0, 0, 0) gemeint war, hatte ich schon begriffen

bei e) kann man das überprüfen, indem ich einfach 3 Gleichungen aufstelle für x, y, und z und die jeweils gleich Null setze, oder?
d.h.
$\begin{eqnarray*} -2\lambda +1 = 0<br /> -4\lambda +2 = 0<br /> 14\lambda-7 = 0<br /> \lambda =0,5 \end{eqnarray*}$
kommt da jeweils raus und somit ist bewiesen, dass der Nullpunkt enthalten ist ...?

wenn ich das genauso mache bei d) (falls man das nicht direkt erkennt, dass der Nullpunkt enthalten ist) kommt da jeweils raus
$\begin{eqnarray*} \lambda = 0<br /> \mu = 0 \end{eqnarray*}$

d.h. d+e können Unterraum sein, bleibt noch zu überprüfen, wie das bei Addition und Multiplikation aussieht

08.12.2013, 00:16

RavenOnJ

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Genau, das wäre noch zu prüfen. Da man aber bei (e) sieht, dass die Gerade durch den Nullpunkt geht, würde ich die Gerade erst mal durch eine Transformation in die Form
$\begin{eqnarray*} \{\nu (-2,-4,14)|\nu \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ überführen. Dann lässt sich das Additionsaxiom und das zur skalaren Multiplikation leichter zeigen.

08.12.2013, 00:35

Begriffsstutzig

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mache ich das dann genau so wie am Anfang auch?

$\begin{eqnarray*} v' = (-2v, -4v, 14v) \end{eqnarray*}$
.....?

08.12.2013, 00:52

RavenOnJ

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[Ich benutze im Folgenden den Richtungsvektor $\begin{eqnarray*} (1,2,-7) = -\frac 1 2(-2,-4,14) \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} (-2,-4,14) \end{eqnarray*}$ . Dies ergibt dieselbe Vektormenge, aber die Zahlen sind kleiner.]

Eigentlich muss man gar nichts rechnen, da sich die Addition aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf die Vektormenge überträgt. Aber man kann natürlich zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 = \mu_1(1,2,-7) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 = \mu_2(1,2,-7) \end{eqnarray*}$ betrachten. Deren Summe ist? (Dies muss man nicht komponentenweise machen.)

08.12.2013, 00:59

Begriffsstutzig

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$\begin{eqnarray*} v_1+v_2 = \mu(2,4,-14) \end{eqnarray*}$
??

08.12.2013, 01:22

Begriffsstutzig

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kann ich das für e vielleicht auch so machen:

$\begin{eqnarray*} v = (1, 2, -7) + \lambda(-2,-4,14)<br /> v_1 = (1, 2, -7) + \lambda_1 (-2,-4,14)<br /> v_2 = (1, 2, -7) + \lambda_2 (-2,-4,14)<br /> v_3 = v_1+v_2 = (1, 2, -7) + \lambda_1 (-2,-4,14) + (1, 2, -7) + \lambda_2 (-2,-4,14)<br /> = (2,4,-14) + (-2\lambda_1-2\ambda_2, -4\lambda_1-4\ambda_2, 14\lambda_1+14\ambda_2)<br /> = (2,4,-14) + (-2(\lambda_1+\ambda_2), -4(\lambda_1+\ambda_2), 14(\lambda_1+\ambda_2)<br /> <br /> v_3 \end{eqnarray*}$ ist nur in v $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ enthalten, wenn gilt $\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\ambda_2)=2 \end{eqnarray*}$ , sprich nicht für beliebige $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \ambda_2 \end{eqnarray*}$

daher ist e kein Unterraum
die Schreibweise stimmt wahrscheinlich mal wieder nicht, ich hoffe man versteht, wie ich das meine...

08.12.2013, 01:25

Begriffsstutzig

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
kann ich das für e vielleicht auch so machen:

$\begin{eqnarray*} v = (1, 2, -7) + \lambda(-2,-4,14)<br /> v_1 = (1, 2, -7) + \lambda_1 (-2,-4,14)<br /> v_2 = (1, 2, -7) + \lambda_2 (-2,-4,14)<br /> v_3 = v_1+v_2 = (1, 2, -7) + \lambda_1 (-2,-4,14) + (1, 2, -7) + \lambda_2 (-2,-4,14)<br /> = (2,4,-14) + (-2\lambda_1-2\lambda_2, -4\lambda_1-4\lambda_2, 14\lambda_1+14\lambda_2)<br /> = (2,4,-14) + (-2(\lambda_1+\lambda_2), -4(\lambda_1+\lambda_2), 14(\lambda_1+\lambda_2)<br /> <br /> v_3 \end{eqnarray*}$ ist nur in v $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ enthalten, wenn gilt $\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)=2 \end{eqnarray*}$ , sprich nicht für beliebige $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$

daher ist e kein Unterraum
die Schreibweise stimmt wahrscheinlich mal wieder nicht, ich hoffe man versteht, wie ich das meine...

08.12.2013, 14:19

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
kann ich das für e vielleicht auch so machen:

$\begin{eqnarray*} v = (1, 2, -7) + \lambda(-2,-4,14)<br /> v_1 = (1, 2, -7) + \lambda_1 (-2,-4,14)<br /> v_2 = (1, 2, -7) + \lambda_2 (-2,-4,14)<br /> v_3 = v_1+v_2 = (1, 2, -7) + \lambda_1 (-2,-4,14) + (1, 2, -7) + \lambda_2 (-2,-4,14)<br /> = (2,4,-14) + (-2\lambda_1-2\lambda_2, -4\lambda_1-4\lambda_2, 14\lambda_1+14\lambda_2)<br /> = (2,4,-14) + (-2(\lambda_1+\lambda_2), -4(\lambda_1+\lambda_2), 14(\lambda_1+\lambda_2)<br /> <br /> v_3 \end{eqnarray*}$ ist nur in v $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ enthalten, wenn gilt $\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)=2 \end{eqnarray*}$ , sprich nicht für beliebige $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$

daher ist e kein Unterraum

Du siehst, wie kompliziert es wird, wenn du nicht als Erstes die von mir vorgeschlagene Transfomation vornimmst.

Ansonsten: unglücklich

unglücklich

verwirrt

Was soll denn v $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ sein? Deine Schlussfolgerung

Zitat:

v_3[/l] ist nur in v $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ enthalten, wenn gilt $\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)=2 \end{eqnarray*}$ , sprich nicht für beliebige $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \lambda_2 \end{eqnarray*}$

daher ist e kein Unterraum

kann ich leider überhaupt nicht nachvollziehen. Außerdem hatte ich weiter oben schon geschrieben, dass es sich um einen UVR handelt. Allein das hätte dir schon zu denken geben müssen.

08.12.2013, 14:44

Begriffsstutzig

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toll, und dann dachte ich, ich hätte einmal was sinnvolles geschrieben....

aber wieso ist das denn falsch?
habe ich bei $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ das falsch addiert?
ich habe doch nur Stützvektor mit Stützvektor und Richtungsvektor mit Richtungsvektor addiert.... (zumindest glaube ich es getan zu haben)

bei der Interpretation des Ergebnisses würde ich verbessern, und zwar:

(2, 4, -14) liegt in v drin
und da
$\begin{eqnarray*} (\lambda_1+\lambda_2)(-2, -4, 14) [/] ein vielfaches von [l]\lambda(-2,-4,14) \end{eqnarray*}$ ist, kann es sich bei e um ein Unterraum handeln
jetzt müsste ich noch nach Multiplikation gucken

--> kann das jetzt stimmen??? (*bitte*)

08.12.2013, 15:07

RavenOnJ

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Du hast für $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ richtig addiert, aber die Rechnung nicht bis zum Ende geführt und dann eine falsche Schlussfolgerung gezogen. Du hättest fortsetzen können:
$\begin{align*} v_3 &= (2,4,-14) + (-2(\lambda_1+\lambda_2), -4(\lambda_1+\lambda_2), 14(\lambda_1+\lambda_2)<br /> &= (2,4,-14) - (\lambda_1+\lambda_2) (2,4,-14) <br /> &= (1-\lambda_1-\lambda_2) (2,4,-14) <br /> &= \mu (2,4,-14) \text{ mit } \mu :=1-\lambda_1-\lambda_2 \end{align*}$

Da $\begin{eqnarray*} \{\nu (2,4,-14) |\nu\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$ nur eine andere Darstellung der Vektormenge in (e) ist, ist also $\begin{eqnarray*} v_3 \end{eqnarray*}$ ebenfalls in ihr enthalten. (Was im griechischen Alphabet wie ein v aussieht ist übrigens ein Ny, in Latex \nu: $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ )

[Da $\begin{eqnarray*} \lambda_1,\lambda_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ jeden beliebigen Wert annehmen können, tut dies übrigens auch $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . ]

Die skalare Multiplikation fehlt noch, sollte aber nach dem Vorgesagten jetzt einfach sein.

08.12.2013, 15:23

Begriffsstutzig

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muss da immer bei so einer Aufgabenstellung
$\begin{eqnarray*} v_3 = \mu* \end{eqnarray*}$ (richtungvektor)
rauskommen?
wenn ja, kann das doch nur der Fall sein, wo der Stützvektor ein vielfaches vom Richtungsvektor ist, oder nicht?

Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} v_4 = \mu * v_1<br /> = \mu * (1, 2, 7) + \mu*\lambda*(-2,-4,14)<br /> = \mu*v<br /> <br /> v=(1,2,7)*\lambda (-2,-4,14)<br /> <br /> v_4 \end{eqnarray*}$ liegt in v

08.12.2013, 15:26

RavenOnJ

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Bitte guck dir den Formelkram in deinem letzten Posting nochmal an. Da ist wohl einiges durcheinander geraten.

08.12.2013, 15:28

Begriffsstutzig

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
muss da immer bei so einer Aufgabenstellung
$\begin{eqnarray*} v_3 = \mu* \end{eqnarray*}$ (richtungvektor)
rauskommen?
wenn ja, kann das doch nur der Fall sein, wo der Stützvektor ein vielfaches vom Richtungsvektor ist, oder nicht?

Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} v_4 = \mu * v_1<br /> = \mu * (1, 2, 7) + \mu*\lambda*(-2,-4,14)<br /> = \mu*v<br /> <br /> v=(1,2,7)+\lambda (-2,-4,14)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$

08.12.2013, 15:42

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig
muss da immer bei so einer Aufgabenstellung
$\begin{eqnarray*} v_3 = \mu* \end{eqnarray*}$ (richtungvektor)
rauskommen?
wenn ja, kann das doch nur der Fall sein, wo der Stützvektor ein vielfaches vom Richtungsvektor ist, oder nicht?

Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} v_4 = \mu * v_1<br /> = \mu * (1, 2, 7) + \mu*\lambda*(-2,-4,14)<br /> = \mu*v<br /> <br /> v=(1,2,7)+\lambda (-2,-4,14)<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_4 \end{eqnarray*}$ liegt in $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$

unglücklich

Jetzt bist du einem Zirkelschluss aufgesessen. Hättest du statt $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ einfach wieder $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ genommen, da $\begin{eqnarray*} v = v_1 \end{eqnarray*}$ , dann wäre dir das vielleicht aufgefallen. Auf diese Weise könntest du auch "zeigen", dass $\begin{eqnarray*} \{(1,2,3)+\mu (3,2,1)\} \end{eqnarray*}$ unter der skalaren Multiplikation abgeschlossen ist - was nicht der Fall ist.

Auch hier hätte es sich bezahlt gemacht, wenn du ganz am Anfang die von mir vorgeschlagene Transfomation vorgenommen hättest. Aber ich scheine ja gegen eine Wand zu reden ...

08.12.2013, 16:03

Begriffsstutzig

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ja klar, jetzt habe ich das auch gesehen
es hätte sein müssen:

$\begin{eqnarray*} v_4 = \mu* v<br /> = \mu (1,2,7) + \mu*\lambda (-2,-4,14)<br /> = \mu(1,2,7)*(1-2\lambda)<br /> = (1,2,7)*(\mu-2\mu\lambda) \end{eqnarray*}$

und das ist fast dasselbe wie bei der Addition

aber hier habe ich wieder dieselbe Frage wie vorhin:

kommt da immer
$\begin{eqnarray*} v_4= \alpha * \end{eqnarray*}$ (Richtungsvektor) raus?
hier $\begin{eqnarray*} \alpha = (\mu-2\mu\lambda) \end{eqnarray*}$
wenn ja, muss doch der RV ein vielfaches von SV sein...

08.12.2013, 16:07

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Begriffsstutzig

wenn ja, muss doch der RV ein vielfaches von SV sein...

Schön, dass du das auch inzwischen gemerkt hast. Genau das war doch der Hintergrund der von mir vorgeschlagenen Transformation und der Grund, warum die Gerade durch den Nullpunkt verläuft.

08.12.2013, 16:11

Begriffsstutzig

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wenn bei einer Aufgabe der Richtungsvektor kein Vielfaches vom Stützvektor ist, kann ich dann sofort sagen, dass die Teilmenge kein Unterraum ist? (wenn ich das ausreichend begründe)

08.12.2013, 16:24

RavenOnJ

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Bei einer Vektormenge, die eine Gerade darstellt, ja, denn nur dann geht die Gerade durch den Nullpunkt. Jede Nullpunktgerade ist ein UVR.

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