Untervektorraum prüfen - Seite 3

08.12.2013, 16:35	Begriffsstutzig	Auf diesen Beitrag antworten »
ah okay, danke d.h. bei d geht das wohl nicht so einfach. Nullpunkt ist ja enthalten, wie vorhin schon geschrieben bei Addition kommt raus $\begin{eqnarray} v_3 = v_1 + v_2<br /> = (\lambda_1+\lambda_2)(2,3,5) + (\mu_1+\mu_2)(7,11,13) \end{eqnarray}$ und bei Multiplikation $\begin{eqnarray} v_4 = \nuv<br /> = (\lambda\nu)(2,3,5) + (\mu\nu)(7,11,13) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} _3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_4 \end{eqnarray}$ sind in $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray*}$ enthalten, daher ein Unterraum
08.12.2013, 16:55	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig
08.12.2013, 17:03	Begriffsstutzig	Auf diesen Beitrag antworten »
Haleluja!! gibt es eigentlich eine Menge wie bei d) wo der Nullpunkt enthalten ist, aber kein Unterraum ist? Ich kann mir keins vorstellen....
08.12.2013, 17:33	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Menge in der Art wie in (d) aufgebaut ist, also $\begin{eqnarray} \left\{\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i b_i\|\alpha_i\in K,b_i\in K^n\right\} \end{eqnarray}$ wobei die $\begin{eqnarray} \alpha_i \end{eqnarray}$ also Parameter aus dem Skalarkörper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ sind (in deinem Fall vermutlich i.d.R. $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ) und die $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ Vektoren aus $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ (bei dir wohl i.d.R. $\begin{eqnarray} \mathbb R^n \end{eqnarray}$ ), dann ist das in der Tat immer ein UVR. Die Zahl k kann dabei jeden positiven, ganzzahligen Wert annehmen. Wenn die Vektoren $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ linear unabhängig sind, dann ist k gleich der Dimension des UVR. Sind die $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ linear abhängig, dann ist die Dimension kleiner als k. Ist k=n und die $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ linear unabhängig, dann ist schon der gesamte Raum enthalten, jeder zusätzliche Vektor $\begin{eqnarray} b_i,i > n \end{eqnarray}$ würde keine weitere Raumdimension bringen, da jeder zusätzliche Vektor von den anderen linear abhängig wäre. Außerdem ist es wichtig zu wissen, dass auch der Raum $\begin{eqnarray} \{0\}, 0\in K^n \end{eqnarray}$ , also der Raum, der nur den Nullpunkt enthält, ebenfalls immer ein UVR ist. Versuche das mal so allgemein zu verifizieren, analog dem, was du bisher gemacht hast, also Additionsaxiom prüfen und skalare Multiplikation. Gute Übung für ein besseres Verständnis.
08.12.2013, 17:48	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
Taucht in der Menge noch ein Stützvektor $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ auf, hat die Menge also die Form $\begin{eqnarray} \left\{c+\sum\limits_{i=1}^k \alpha_i b_i\|\alpha_i\in K,b_i\in K^n\right\} \end{eqnarray}$ dann handelt es sich genau dann um einen UVR, wenn $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ von den $\begin{eqnarray} b_i \end{eqnarray}$ linear abhängig ist. Ist dies nicht der Fall, dann wäre der Nullpunkt nicht in der Menge enthalten, also kein UVR.
08.12.2013, 17:56	Begriffsstutzig	Auf diesen Beitrag antworten »
das habe ich sogar verstanden!!!!! aber ich kämpfe gerade mit den allgemeinen beweis....
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