Untervektorraum prüfen

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Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum prüfen
Meine Frage:
Hallo!
Ich hatte heute eine Vorlesung zu Vektoren / Untervektorraum und ich blicke da überhaupt nicht durch.
Ich hatte zwar nur GK, aber in der Schule bin ich recht gut mit Vektoren ausgekommen, aber jetzt sieht das ALLES ganz anders aus und ich erkenne nichts wieder!
Ich habe mir schon fast alle Tutorienvideos bei onlinetutorium.com und Erklärungen von anderen Unis durchgelesen, aber ich weiß nicht, was die mir sagen wollen... Ich bin so verzweifelt, dass ich jetzt schon Panik vor der Prüfung habe.
Es geht zunächst um die Aufgabe P14
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Stroppel-1314/gruppenuebungen/Blatt04.pdf


Meine Ideen:
ich konnte bis jetzt nur herausfinden, dass ich überprüfen muss, ob die Struktur des Vektorraums gleich bleibt bei
- Addition
- (skalare) Multiplikation
Nun habe ich aber keinen blassen Schimmer, wie ich das anstellen soll.

Ich bin bereit und will das auch unbedingt verstehen, und erwarte und will auch nicht, dass mir das jemand alles macht.
Ich hoffe, ihr habt die Geduld und Zeit, den Begriffsstutzigen das Schritt für Schritt zu erklären, weil ich will nicht durch die Klausur durchfallen!!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum prüfen
Erst mal könntest du feststellen, ob der Nullpunkt in dem potentiellen Unterraum enthalten ist. Dadurch kannst du gewisse Teilaufgaben erschlagen. Es muss nämlich in jedem Untervektorraum der Nullpunkt enthalten sein.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum prüfen
Ob zwei Vektoren aus einem potentiellen UR bei Addition wieder in diesem UR liegen, kannst du nur durch die entsprechende Rechnung herausfinden.

Als Beispiel P14 (b):
Zwei Vektoren und .
Diese addiert erhält man

.

Jetzt gilt es festzustellen, ob ebenfalls in dem pot. UR liegt, also, ob

gilt. Dies ist offensichtlich der Fall.

Außerdem muss man feststellen, ob die skalare Multiplikation nicht aus dem Raum herausführt. In dem Beispiel also, ob für



ebenfalls gilt. Auch das ist der Fall. Also ist



ein Unterraum von .
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

ich verstehe nicht, wie ich das anstellen soll.
so wie ich das verstanden habe, sind x, y und z jeweils Vektoren aus dem vektorraum R^3.
Aber woher weiß ich, ob da der Nullpunkt, also (0, 0, 0) (sprich Ursprung) enthalten ist?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, x, y und z sind die drei Komponenten des Vektors (x,y,z).

Edit: Lies dir mal mein letztes Posting durch, das hat sich mit deinem überschnitten.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist es denn in P14 (a)? Ist der Nullpunkt enthalten?
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

P14a)

Prüfen, ob der Nullpunkt in (x, y, z) enthalten ist:

v1 = (x1, y1, z1) = 1
v2 = (x2, y2, z2) = 1

wenn ja, muss gelten: v1+v2 = 0
v3 = v1 + v2 = x1+x2, y1+y2, z1+z2 = 1+1 = 2

der Nullpunkt ist nicht enthalten,
a ist kein Untervektorraum


... stimmt das so??
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

falls das stimmt, ist (x, y, z) nicht immer ein Untervektorraum, wenn da =0 steht, unabhängig davon, ob da x+y+z oder x^2+y^2-z^2 steht?

also bei c) kommt ja auch =0 raus und dann muss ich das doch nicht extra berechnen, oder?
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

zu d) habe ich gerade herausbekommen, dass es ein Untervektorraum ist, wenn x und y kein Nullvektor und kein vielfaches voneinander sind.
Hier trifft beides weder auf noch auf y zu, also ist das auch ein Untervektorraum?
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

also mit x und y meinte ich hier
x=(2,3,5) und y=(7,11,13)

falls das auch stimmt, ist wohl e) kein Untervektorraum, weil x und y zwar keine Nullvektoren sind aber dafür ein vielfaches voneinander (um -2 bzw -0,5)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
P14a)

Prüfen, ob der Nullpunkt in (x, y, z) enthalten ist:

v1 = (x1, y1, z1) = 1
v2 = (x2, y2, z2) = 1

wenn ja, muss gelten: v1+v2 = 0
v3 = v1 + v2 = x1+x2, y1+y2, z1+z2 = 1+1 = 2

der Nullpunkt ist nicht enthalten,
a ist kein Untervektorraum


... stimmt das so??


Ich verstehe nicht, was du da machst. Es ist doch viel einfacher. Für alle Vektoren des potentiellen Unterraums muss gelten:



Dies gilt nicht für den Nullpunkt, da . Also ist der Nullpunkt nicht enthalten.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum prüfen
Zitat:
Original von RavenOnJ
Ob zwei Vektoren aus einem potentiellen UR bei Addition wieder in diesem UR liegen, kannst du nur durch die entsprechende Rechnung herausfinden.

Als Beispiel P14 (b):
Zwei Vektoren und .
Diese addiert erhält man

.

Jetzt gilt es festzustellen, ob ebenfalls in dem pot. UR liegt, also, ob

gilt. Dies ist offensichtlich der Fall.

Außerdem muss man feststellen, ob die skalare Multiplikation nicht aus dem Raum herausführt. In dem Beispiel also, ob für





ich habe nur versucht, das nachzumachen und auf a) zu übertragen....

ebenfalls gilt. Auch das ist der Fall. Also ist



ein Unterraum von .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
falls das stimmt, ist (x, y, z) nicht immer ein Untervektorraum, wenn da =0 steht, unabhängig davon, ob da x+y+z oder x^2+y^2-z^2 steht?

also bei c) kommt ja auch =0 raus und dann muss ich das doch nicht extra berechnen, oder?


Wenn du mal genauer gelesen hättest, was ich geschrieben habe, dann hätte dir klar sein müssen, dass das Enthaltensein des Nullpunkts nur eine notwendige und keine hinreichende Bedingung für einen Unterraum ist. Gerade der Teil (c) zeigt dies. Der Nullpunkt ist enthalten, es handelt sich aber nicht um einen UR. Die Begründung dafür müsstest du allerdings noch liefern.

Das Ganze ist übrigens ein doppeltes Paraboloid, kann also kein Unterraum sein, da alle echten Unterräume im entweder der Nullpunkt, eine Gerade durch den Nullpunkt oder eine Ebene durch den Nullpunkt sind.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum prüfen
Zitat:
Original von Begriffsstutzig
Zitat:
Original von RavenOnJ
Ob zwei Vektoren aus einem potentiellen UR bei Addition wieder in diesem UR liegen, kannst du nur durch die entsprechende Rechnung herausfinden.

Als Beispiel P14 (b):
Zwei Vektoren und .
Diese addiert erhält man

.

Jetzt gilt es festzustellen, ob ebenfalls in dem pot. UR liegt, also, ob

gilt. Dies ist offensichtlich der Fall.

Außerdem muss man feststellen, ob die skalare Multiplikation nicht aus dem Raum herausführt. In dem Beispiel also, ob für





ich habe nur versucht, das nachzumachen und auf a) zu übertragen....

ebenfalls gilt. Auch das ist der Fall. Also ist



ein Unterraum von .


Du missverstehst, worauf ich damit hinaus wollte. Hiermit wollte ich nicht zeigen, dass in dem Unterraum der Nullpunkt enthalten ist, sondern dass die Addition und skalare Multiplikation nicht aus dem Raum heraus führt. Dass der Nullpunkt enthalten ist, sieht man nämlich auf einen Blick, ohne Rechnung.

Natürlich kann man auch damit zeigen, dass der Nullpunkt in dem Unterraum enthalten ist, indem man nämlich einfach setzt. Oft geht das Untersuchen des Nullpunktes aber einfacher, wie man am Teil (a) sieht, und es ist auch nur ein erster Test. Wenn der fehlschlägt, wie in (a), dann kann man sich den Rest sparen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
zu d) habe ich gerade herausbekommen, dass es ein Untervektorraum ist, wenn x und y kein Nullvektor und kein vielfaches voneinander sind.
Hier trifft beides weder auf noch auf y zu, also ist das auch ein Untervektorraum?


Dieses Posting macht mich ratlos, zumal ich nirgendwo x und y sehe. Was willst du damit sagen?
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von Begriffsstutzig
zu d) habe ich gerade herausbekommen, dass es ein Untervektorraum ist, wenn x und y kein Nullvektor und kein vielfaches voneinander sind.
Hier trifft beides weder auf noch auf y zu, also ist das auch ein Untervektorraum?


Dieses Posting macht mich ratlos, zumal ich nirgendwo x und y sehe. Was willst du damit sagen?




hier meinte ich eigentlich x = (2, 3, 5) und y = (7, 11, 13) weil ich in der Vorlesung gesehen habe, x + ¼y mit x, y U
(U = Teilmenge)
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

das 1/4 sollte eigentlich myu sein
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
also mit x und y meinte ich hier
x=(2,3,5) und y=(7,11,13)

falls das auch stimmt, ist wohl e) kein Untervektorraum, weil x und y zwar keine Nullvektoren sind aber dafür ein vielfaches voneinander (um -2 bzw -0,5)


Ach so, das sind deine x und y. Trotzdem sind deine Ausführungen zu (d) falsch. Bitte nochmal darüber nachdenken.

Was du zu (e) schreibst, ist leider auch falsch. Ich merke, dass du hier anscheinend Grundlegendes nicht verstehst bzw. generell das Verfahren, wie man einen Unterraum nachweist.

Stelle bei der (e) als ersten Test fest, ob der Nullpunkt enthalten ist (er ist es, es handelt sich also möglicherweise um einen UR). Führe dann Additionen von Vektoren dieser Vektormenge durch und prüfe, ob die Vektorsumme ebenfalls in der Menge liegt. Prüfe dann die skalare Multiplikation.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
zu d) habe ich gerade herausbekommen, dass es ein Untervektorraum ist, wenn x und y kein Nullvektor und kein vielfaches voneinander sind.
Hier trifft beides weder auf noch auf y zu, also ist das auch ein Untervektorraum?


Du willst anscheinend damit sagen, dass nur dann ein Unterraum ist, wenn weder noch der Nullvektor sind oder wenn sie nicht linear voneinander abhängig sind? Dies ist nicht richtig. Selbst wenn oder oder sogar beide der Nullvektor sind, handelt es sich um einen Unterraum. Im letzten Fall deswegen, weil auch der Nullpunkt ein Unterraum ist.

Auch wenn beide linear voneinander abhängen, handelt es sich um einen Unterraum. Man könnte ihn allerdings dann einfacher durch darstellen.

Es ist also auf alle Fälle ein Unterraum, egal wie und aussehen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft ja bei der (e) eine kleine Variablentransformation . Dadurch kann man die Menge in eine einfachere Form überführen.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also ich fange noch mal ganz von vorne bei a) an

Um nachzuweisen, ob eine Teilmenge (x, y, z) ein Unterraum ist, muss ich zunächst nach der notwendigen Bedingung schauen, nämlich, ob der Nullpunkt enthalten ist.
Das untersuche ich, indem ich einfach in die gegebenen Gleichung mit den Komponenten 0 einsetzte, weil Nullpunkt bedeutet (0,0,0).

für a) gilt also
x+y+z=1
0+0+0=0 ungleich 1

Da der Nullpunkt nicht enthalten ist, ist die Teilmenge der a) kein Untervektorraum.


für b) gilt
x+y+z=0
0+0+0=0 ist gleich 0

Weil der Nullpunkt enthalten ist, kann die Teilmenge ein Unterraum sein. Da dies aber nur eine notwendige Bedingung ist, muss ich noch zusätzlich nach der hinreichenden Bedingung gucken, nämlich Addition und skalare Multiplikation.

für die Addition mache ich:
v1 = (x1, y1, z1)
v2 = (x2, y2, z2)
v3 = v1 + v2 = x1+x2, y1+y2, z1+z2

für die Multiplikation mache ich:
v4 = * v1 = x1, x2, x3

so und woran erkenne ich jetzt, dass die Gleichungen v3 und v4 =0 ergeben?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
okay, also ich fange noch mal ganz von vorne bei a) an

Um nachzuweisen, ob eine Teilmenge (x, y, z) ein Unterraum ist, muss ich zunächst nach der notwendigen Bedingung schauen, nämlich, ob der Nullpunkt enthalten ist.
Das untersuche ich, indem ich einfach in die gegebenen Gleichung mit den Komponenten 0 einsetzte, weil Nullpunkt bedeutet (0,0,0).

für a) gilt also
x+y+z=1
0+0+0=0 ungleich 1

Da der Nullpunkt nicht enthalten ist, ist die Teilmenge der a) kein Untervektorraum.


für b) gilt
x+y+z=0
0+0+0=0 ist gleich 0

Weil der Nullpunkt enthalten ist, kann die Teilmenge ein Unterraum sein. Da dies aber nur eine notwendige Bedingung ist, muss ich noch zusätzlich nach der hinreichenden Bedingung gucken, nämlich Addition und skalare Multiplikation.


Bis hierhin richtig

Zitat:

für die Addition mache ich:
v1 = (x1, y1, z1)
v2 = (x2, y2, z2)
v3 = v1 + v2= (x1+x2, y1+y2, z1+z2)

für die Multiplikation mache ich:



Es wäre schön, wenn du die Formeln durchgehend in Latex schreibst (und die Indizes bitte tiefergestellt: nicht , sondern ). Die Mischung aus plain text und Latex in Formeln ist etwas nervig. Es gibt übrigens den Zitat-Button, falls du mit dem Latex-Code nicht so zurecht kommst. Dann kannst du die relevanten Stellen kopieren.

Zitat:

so und woran erkenne ich jetzt, dass die Gleichungen v3 und v4 =0 ergeben?


Für den Vektor gibt es eine Bedingung, damit er zu der spezifizierten Vektormenge gehört, es muss nämlich die Summe der Komponenten gleich 0 sein. Einfach ausrechnen und dabei berücksichtigen, dass diese Bedingung erfüllen. Ähnlich für die skalare Multiplikation.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

für Addition :
muss =0 sein

setze ich dann wieder für alle werte 0 ein?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Werte, die du einsetzen kannst, sollen beliebig aus sein unter der Nebenbedingung . Analog für den anderen Vektor. Diese Nebenbedingung müssen alle Vektoren aus der Menge erfüllen.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

mache ich das so wie am Anfang?

weil( ) aus (x,y,z) stammt, gilt für diese 3 zahlen auch
x+y+z=0

d.h. da muss auch der Nullpukt enthalten sein, das muss
sein, was ja auch stimmt.
dasselbe gilt auch für ?
und wenn man beides addiert, kommt da 0 raus und die Bedingung x+y+z=0 ist erfüllt??
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
mache ich das so wie am Anfang?

weil( ) aus (x,y,z) stammt, gilt für diese 3 zahlen auch
x+y+z=0

d.h. da muss auch der Nullpukt enthalten sein, das muss
sein, was ja auch stimmt.
dasselbe gilt auch für ?
und wenn man beides addiert, kommt da 0 raus und die Bedingung x+y+z=0 ist erfüllt??


Es geht jetzt nicht mehr darum zu zeigen, dass der Nullpunkt in der Menge liegt, das ist doch inzwischen klar. Es geht jetzt nur noch darum, ob ebenso wie in der Menge liegt.

Bitte konsistente Bezeichung. Es hieß bisher: usw.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

kannst du mir vielleicht erklären, wie ich das jetzt herausfinde, bitte?
ich verstehe das gerade so rein gar nicht...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
kannst du mir vielleicht erklären, wie ich das jetzt herausfinde, bitte?
ich verstehe das gerade so rein gar nicht...


Das ist aber für heute mein letztes Posting.

Du scheinst den Wald vor lauter Bäumen nicht zu sehen. Es gilt doch für die Nebenbedingung . Analoges für . Für ist also zu prüfen, ob gilt:



Die Klammern habe ich nur zur Verdeutlichung geschrieben. (*) kann man umordnen und die Nebenbedingungen für einsetzen:

.

Also gehört ebenfalls zu der Menge.

Die skalare Multiplikation darfst du jetzt zeigen.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

danke, ich glaube ich habe es verstanden.

für skalare Multiplikation gilt, so weit ich das hoffentlich verstanden habe,



wobei gilt:


d.h.


somit ist, unabhängig von , das skalare Produkt (?) 0 und stimmt mit der Bedingung x+y+z=0 (von der Aufgabenstellung) überein.
das wiederum heißt, dass das zu der Teilmenge gehört.

da dieses Ergebnis sowohl bei Addition als auch bei Multiplikation herauskommt, handelt es sich bei b) um ein Untervektorraum

ich hoffe das ist jetzt richtig??
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht richtig und du hast es anscheinend nicht verstanden oder es war etwas spät heute Nacht.

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
danke, ich glaube ich habe es verstanden.

für skalare Multiplikation gilt, so weit ich das hoffentlich verstanden habe,



wobei gilt:


Das Rote ist einfach falsch. Erstmal heißt es

Ständig vergisst du die Klammern! Die zeigen an, dass es sich hier um ein Tripel von (reellen) Zahlen handelt, ein Element aus . Dann würde ich bei diesem Beweisteil die Indizes weglassen und einfach schreiben


Viel gravierender aber ist der Fehler, dass du dieses Tripel mit dem Nullvektor gleichsetzt. Wie kommst du da drauf? sollen beliebige Zahlen aus sein, in diesem Aufgabenteil nur durch eine Nebenbedingung eingeschränkt. Deshalb ist auch die folgende Schlussfolgerung einfach falsch. Womöglich meintest du die Nebenbedingung , hast es aber nicht so geschrieben.

Zitat:

d.h.


somit ist, unabhängig von , das skalare Produkt (?) 0 und stimmt mit der Bedingung x+y+z=0 (von der Aufgabenstellung) überein.
das wiederum heißt, dass das zu der Teilmenge gehört.


Möglicherweise verstehst du den Begriff des skalaren Produkts nicht richtig?!? Es sei ohne jegliche Nebenbedingung. Das skalare Produkt ist ein Produkt aus dem Skalarkörper (hier ) mit einem Vektor, definiert durch
.

Zitat:

da dieses Ergebnis sowohl bei Addition als auch bei Multiplikation herauskommt, handelt es sich bei b) um ein Untervektorraum


Es handelt sich zwar um einen Untervektorraum, deinen Teil der Beweisführung musst du aber nochmal überarbeiten.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ

Es gilt doch für die Nebenbedingung . Analoges für . Für ist also zu prüfen, ob gilt:



Die Klammern habe ich nur zur Verdeutlichung geschrieben. (*) kann man umordnen und die Nebenbedingungen für einsetzen:

.

Also gehört ebenfalls zu der Menge.


Also ich habe das wieder nur versucht, nachzumachen....

Es gilt für die Nebenbedingung .
Für
man muss auch hier prüfen, ob gilt:

wenn ich die Nebenbedingung für einseztze, habe ich da


was genau ist daran jetzt falsch....??
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »



sollte die letzte Zeile sein
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig


sollte die letzte Zeile sein


Wenn du es so schreibst, ist es richtig. Aber schau dir den Unterschied zu dem an, was du heute Nacht geschrieben hast. Ich habe den Verdacht, dass du jetzt nur etwas von mir kopiert hast ohne es wirklich verstanden zu haben.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

das, was ich jetzt bewusst anders gemacht habe, ist, dass ich die Indizes weggelassenhabe.
Aber sonst ist das doch dasselbe wie vorhin auch.
ist doch eine bestimmte Teilmenge aus , aber weil ich das ja auch durch Variablen allgemein halte, ist das denn nicht egal?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst mal genauer lesen, was du heute Nacht geschrieben. Das war einfach falsch und etwas ganz anderes, als was du vor Kurzem geschrieben hast. Sei's drum.

Ist dir inzwischen klar, warum die (c) kein Untervektorraum ist?
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlichgesagt nein, weil

Notwendige Bedingung: Nullpunkt ist enthalten


für x, y, z 0 einsetzen

stimmt mit der geg. Bedingung überein, Nullpunkt ist enthalten

Hinreichende Bedingung: Addition und Multiplikation

Addition:




prüfen, ob



Multiplikation:



prüfen, ob

Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
ehrlichgesagt nein, weil

Notwendige Bedingung: Nullpunkt ist enthalten


für x, y, z 0 einsetzen

stimmt mit der geg. Bedingung überein, Nullpunkt ist enthalten

Hinreichende Bedingung: Addition und Multiplikation

Addition:




prüfen, ob



Multiplikation:



prüfen, ob

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig


Hinreichende Bedingung: Addition und Multiplikation

Addition:


...


Das ist grundlegend falsch! Du musst wiederum definieren
plus Nebenbedingung. Analog und . Wie müsste dann die Nebenbedingung für aussehen?

Den Rest schenke ich mir erstmal.
Begriffsstutzig Auf diesen Beitrag antworten »

Hinreichende Bedingung: Addition und Multiplikation

Addition:




prüfen, ob

RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Begriffsstutzig
Hinreichende Bedingung: Addition und Multiplikation

Addition:





Und was soll das Rote sein?

Zitat:

prüfen, ob



Da kann ich auch nur schreiben ??? Wie kommst du jetzt auf diese Nebenbedingung? Hier gilt doch eine ganz andere. Angedeutet hattest du sie ein paar Zeilen weiter oben.
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