Vektorgeometrie Oktaeder

06.12.2013, 20:54

Unbegabt

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Vektorgeometrie Oktaeder

Meine Frage:
Folgendes Problem:

Gegeben sind folgende Daten: Oktaeder (d.h. alle Kanten sind gleich lang); A(2|4|1); B(2|-2|7); F(8|-2|1); G(4|6|9)

A, B, F, G sind Koordinaten, wobei G die Spitze ist und F die "untere" Spitze. B liegt rechts von A.

Zu berechnen sind die Koordinaten der Eckpunkte D und C (D liegt hinter A und C hinter B) und der Innenwinkel zwischen den Seitenflächen.

Meine Ideen:
Meine Idee war folgende. Da alle Kanten gleich lang sind, ist die Länge der Vektoren die sich aus den Koordinaten ergeben auch gleich.

rAB = (B1-A1, B2-A2, B3-A3) = (0,-6,6)

Länge von rAB = |(0,-6,6)| = sqrt(0²+6²+6²) = 6*sqrt(2)

Länge von rAD = |(D1-A1, D2-A2, D3-A3)| = 6*sqrt(2)
= |(D1-2, D2-4, D3-1)| = 6*sqrt(2)

rAG = ... = (2,2,8)

Länge von rAG = ... = 6*sqrt(2)

Hier komm ich nicht mehr weiter.
Kann ich jetzt rAD und rAG gleichsetzen, nach D umstellen und dann die Koordinaten aufschreiben? Wie man den Winkel berechnet weiß ich auch nicht.

06.12.2013, 21:06

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Guten Abend,

da es sich um ein regelmäßiges Oktaeder handelt, muss der Mittelpunkt von FG gleichzeitig auch der Mittelpunkt des Quadrates ABCD sein.

06.12.2013, 21:32

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Ja ok, verstehe ich.

Also M = 1/2*FG

M=(-2, 4, 4)

Folgt daraus dann: AM = (-4, 0, -3) und 2*AM = AC = (-8, 0, -6)

AC = (c1-2, c2-4, c3-1) = (-8, 0, -6) => (c1, c2, c3) = (-6, 4, -5)

oder soll ich da ein Dreieck draus machen, den Winkel zwischen AC und AB ausrechnen und dann sagen cos ß = CA*CB / |CA|*|CB| ?

06.12.2013, 21:50

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Hej,

nicht ganz!

Wenn Du zwei Punkte F und G mit den Ortsvektoren $\begin{eqnarray*} \vec f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec g \end{eqnarray*}$ hast, dann hat der Mittelpunkt von F und G, $\begin{eqnarray*} M_{FG} \end{eqnarray*}$ , den Ortsvektor

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{ m_{FG}} = \frac12(\vec f + \vec g) \end{eqnarray*}$

Mit Hilfe dieser Formel kannst Du dann von A über M die Koordinaten von C berechnen.

06.12.2013, 22:19

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Ok, so schnell schaltet mein mechanisches Gehirn nicht. Warum denn 1/2*(F+G)?
Die Definition ist doch rFG = rG - rF.

Ich hab das jetzt erstmal so hingenommen und bin auf folgendes gekommen:

M = 1/2(F+G) = 1/2*((12, 4, 10)) = (6, 2, 5)

=> AM = (4, -2, 4)
und es gilt 2AM = AC = (c1-2, c2-4, c3-1) = (c1, c2, c3) - (2, 4, 1) = (8, -4, 8)
also (c1, c2, c3) = (8, -4, 8) + (2, 4, 1) = (10, 0, 9)

=> BM = (4, 4, -2)
und es gilt 2BM = BD = (d1-2, d2-(-2), d3-7) = (d1, d2, d3) - (2, -2, 7) = (8, 8, -4)
also (d1, d2, d3) = (8, 8, -4) + (2, -2, 7) = (10, 6, 3)

Probe:
|AB| = sqrt(0²+(-6)²+6²) = 6*sqrt(2)
|AD| = 6*sqrt(2)
|DC| = 6*sqrt(2)
|CD| = 6*sqrt(2)
|CB| = 6*sqrt(2)

Also sind alle Kanten gleich lang und die Koordinaten von C und D sind C(10|0|9) und D(10|6|3)

Jetzt soll ich den Innenwinkel zwischen den Seitenflächen ABG und BCG bestimmen. Ist das nicht einfach ein rechter Winkel?

07.12.2013, 08:28

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Moin,

1. Zur Bestimmung des Ortsvektors des Mittelpunktes einer Strecke (vgl. Skizze!):

$\begin{eqnarray*} \vec m = \vec f + \frac12 \cdot \overrightarrow{FG} =\vec f + \frac12 \cdot (\vec g - \vec f) = \vec f -\frac12 \vec f + \frac12 \vec g = \frac12 (\vec f + \vec g) \end{eqnarray*}$
oder (verkürzt und falsch, aber leicht merkbar):
Der Mittelpunkt ist der Mittelwert der Endpunkte.

2. Zur Berechnung des von den Seitenflächen eingeschlossenen Winkels:
Der Winkel zwischen zwei Ebenen stimmt mit dem Winkel zwischen ihren Normalenvektoren überein.
Bestimme also die Normalenvektoren von ABG und BCG und berechne den von ihnen eingeschlossenen Winkel.

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07.12.2013, 14:45

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Vielen dank für deine ausführlichen Beiträge Bürgi smile

smile

Ok, jetzt hab ich Probleme die Normalvektoren zu bestimmen. Ich zeig mal was ich gemacht hab für die Ebene ABG.

A(2|4|1), B(2|-2|7), G(4|6|9)

E(ABG): E = A+r*AB+s*AG = (2, 4, 1) + r*(0, -6, 6) + s*(2, 2, 8)

Daraus folgt:

x = 2 + 2*s
y = 4 + (-6)*r + 2*s
z = 1 + 6*r + 8*s

Das habe ich nach r und s umgestellt.

x-y: -2 + 6*r = x => r = (1/6)*x - (1/3)
z+y: 5+10*s = z => s = (1/10)*z - (1/2)

Danach habe ich r und s in y eingesetzt:

y = 4 + (-6)*((1/6)*x - (1/3)) + 2*((1/10)*z - (1/2))
y = 4 + (2 - x) + ((1/5)*z - 1))
y = 5 - x + (1/5)*z

Also

5 = x + y - (1/5)*z

und der Normalvektor n = (1, 1, (1/5))
------------------------------------------------------

Ich weiß nicht warum, aber irgendwas sagt mir dass das nicht richtig ist.
Ich habe sowas übrigens nie gelernt, deshalb frag ich hier so blöd. Ich versuche es zu lernen um jemanden bei der Vorbereitung aufs Abitur zu helfen.

07.12.2013, 15:09

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder

Zitat:

n = (1, 1, (1/5))

Ich meinte natürlich n = (1, 1, -(1/5)). (Tut mir leid, ich kann es nicht editieren)

07.12.2013, 15:54

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Dritter Post in folge, aber diesmal für einen guten Zweck. Ich rechne die Aufgabe jetzt einmal zu Ende, vielleicht wird es in Zukunft ja mal jemanden helfen.

Zitat:

Original von Unbegabt
Vielen dank für deine ausführlichen Beiträge Bürgi smile

smile

Ok, jetzt hab ich Probleme die Normalvektoren zu bestimmen. Ich zeig mal was ich gemacht hab für die Ebene ABG.

A(2|4|1), B(2|-2|7), G(4|6|9)

E(ABG): E = A+r*AB+s*AG = (2, 4, 1) + r*(0, -6, 6) + s*(2, 2, 8)

Daraus folgt:

x = 2 + 2*s
y = 4 + (-6)*r + 2*s
z = 1 + 6*r + 8*s

Das habe ich nach r und s umgestellt.

x-y: -2 + 6*r = x => r = (1/6)*x - (1/3)
z+y: 5+10*s = z => s = (1/10)*z - (1/2)

Danach habe ich r und s in y eingesetzt:

y = 4 + (-6)*((1/6)*x - (1/3)) + 2*((1/10)*z - (1/2))
y = 4 + (2 - x) + ((1/5)*z - 1))
y = 5 - x + (1/5)*z

Also

5 = x + y - (1/5)*z

und der Normalvektor n1 = (1, 1, -(1/5))

Hier mach ich jetzt weiter. (Der Normalvektor ist richtig, ich erklär später warum). Oben haben wir den Normalvektor der Ebene ABG berechnet, jetzt machen wir das gleiche für den Normalvektor der Ebene BCG.

B(2|-2|7), C(10|0|9), G(4|6|9)

E(BCG): E = B + r*BC + s*BG = (2, -2, 7) + r*(8, 2, 2) + s*(2, 8, 2)

Daraus folgt:

x = 2 + 8*r + 2*s
y = -2 + 2*r + 8*s
z = 7 + 2*r + 2*s

wieder nach r und s umstellen:

y-z: -9 + 6*s = y => s = (1/6)*y + (3/2)
x-z: -5 + 6*r = x => r = (1/6)*x + (5/6)

r und s in z einsetzen:

z = 7 + 2*((1/6)*x + (5/6)) + 2*((1/6)*y + (3/2))
z = 7 + (1/3)*x + (5/3) + (1/3)*y + 3
z = (35/3) + (1/3)*x + (1/3)*y

Also -(1/3)*x - (1/3)*y + z = (35/3)

und der Normalvektor n2 = ((-1/3), (-1/3), 1)

Die Normalvektoren sind nicht eindeutig, wir haben lediglich Vektoren berechnet die senkrecht zur Ebene stehen. Daher können wir per Skalarmultiplikation die Länge der Vektoren ändern und somit die Brüche eliminieren.

n1' = 5*n1 = (5, 5, -1)
n2' = 3*n2 = (-1, -1, 3)

Der Winkel zwischen den beiden Ebenen wird nun wie folgt bestimmt:

cos µ = ((n1') * (n2'))/(|n1'|*|n2'|)
= ((5*(-1)+5*(-1)+(-1)*3))/(sqrt(5²+5²+1²)*sqrt(1²+1²+3²)) = -0,548860430

arccos (-0,548860430) = 123,2888688°

Die nächste Aufgabe wäre:
"In den Oktaeder wird eine Kugel einbeschrieben, die alle Seitenflächen berührt. Berechnen sie den Radius dieser Innenkugel."

Meine Idee dazu ist: Mittelpunkt des Oktaeders = Mittelpunkt der Kugel. Deshalb brauchen wir einen Vektor von M auf die Mitte einer Seitenfläche und nehmen seinen Betrag (=: Länge des Vektors laut Definition.)

07.12.2013, 16:27

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Wow,

ich bin schwer beeindruckt, von der Menge an Arbeit, die Du Dir mit dieser Aufgabe gemacht hast - und ehrlich gesagt, ich trau mich fast nicht, Dir zu sagen, dass es auch einfacher geht, viel einfacher:

Als Beispiel der Normalenvektor auf die Ebene ABG:

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\-2\\7\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-6\\6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

entsprechend

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{AG} = \begin{pmatrix}4\\6\\9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\\8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{n_{ABG}}= \begin{pmatrix}0\\-6\\6\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2\\2\\8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-60\\12\\12\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie Du siehst, habe ich einen anderen Normalenvektor als Du. Kontrolliere bitte Deine Rechnungen, insbesondere schleichen sich bei solchen Aufgaben gern Vorzeichenfehler ein.
Den zweiten Normalenvektor entsprechend berechnen.

07.12.2013, 16:54

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Hm... Ok. Ich hatte meinen Ansatz mit einer Formelsammlung aus dem Internet hergeleitet.

Mit dem Kreuzprodukt habe ich für n(BCG) = (-12, -12, 60) und somit für den Winkel arccos ((1/3)) = 70,53°

War mein Ansatz zum Radius der Innenkugel richtig?

07.12.2013, 18:20

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Innenkugel im Oktaeder:

Mittelpunkt (Schwerpunkt) der Ebene ABG:

rS = (1/3)*(rA+rB+rG) = ((8/3), (8/3), (17/3))

SM = rM - rS = (6, 2, 5) - ((8/3), (8/3), (17/3)) = ((10/3), (-2/3), (2/3))

Radius = |SM| = sqrt((10/3)²+(-2/3)²+(2/3)²) = 3,464

07.12.2013, 20:33

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Guten Abend,

Du schreibst

Zitat:

Meine Idee dazu ist: Mittelpunkt des Oktaeders = Mittelpunkt der Kugel. Deshalb brauchen wir einen Vektor von M auf die Mitte einer Seitenfläche und nehmen seinen Betrag (=: Länge des Vektors laut Definition.)

Woher weißt Du, dass die Kugel die Seitenflächen gerade im Schwerpunkt der Dreiecksfläche berührt?

Generell ist Deine Überlegung richtig, Deine Prämisse ist allerdings falsch.
Es gibt zwei Wege, den Radius zu berechnen:
a) Die Länge des Radius entspricht dem Abstand des Punktes M von irgendeiner der 8 Ebenen. (Stichwort Hessesche Normalenform)
b) Eine Gerade durch M in Richtung des Normalenvektors schneidet die Ebene in P. Die Länge des Radius entspricht der Länge MP.

Für welchen Weg Du Dich entscheidest, ist gleichgültig. Der tatsächliche Wert von r weicht erst in der 3. Stelle nach dem Komma von Deinem Wert ab.

08.12.2013, 08:51

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Guten Morgen,

the good news first: Dein Ergebnis ist völlig richtig: $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{12} \end{eqnarray*}$

Beim Nachvollziehen Deiner Überlegungen hatte ich mich hierauf verlassen:

Zitat:

Also
5 = x + y - (1/5)*z
und der Normalvektor n = (1, 1, (1/5))

.... und das war mein Fehler.

08.12.2013, 12:12

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Yay Big Laugh

Big Laugh

zum Glück hatte ich den Zettel noch nicht weggeworfen, die Kreuzproduktlösung sollte aber auch richtig sein, oder? Ich bin der Meinung das wir letztens in Linearer Algebra den Beweis dazu gemacht haben.

08.12.2013, 13:11

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Ups, falsch verstanden. Einfach nicht beachten was oben steht.

Die letzte Aufgabe wäre:

"Durch x1 - 2*x2 - 2*x3 + t =0 , t aus den reellen Zahlen ist eine Schar von Ebenen Et gegeben.
a) Für welche Werte von T schneidet eine Ebene Et das Oktaeder?
b) Welche Ebenen der Schar schneiden aus dem Oktaeder ein Quadrat aus, dessen Flächeninhalt halb so groß ist wie der Flächeninhalt des Quadrates ABCD?"

Dazu kann ich mir ehrlich gesagt nichts vorstellen. Ich weiss was eine Funktionenschar ist und wie man in der Analysis damit umgeht, aber im Bereich der Vektorgeometrie bin ich über fragt. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen oder (wenn die Zeit vorhanden ist) die Aufgabe vorrechnen?

08.12.2013, 15:57

riwe

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
schaue dir einmal den normalenvektor von E an, da läßt sich das Problem deutlich verkleinern Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.12.2013, 16:26

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Von welchem E? Den Normalvektor von E kann ich doch gar nicht bilden oder?

08.12.2013, 16:30

riwe

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder

Zitat:

Original von Unbegabt
Ups, falsch verstanden. Einfach nicht beachten was oben steht.

Die letzte Aufgabe wäre:

"Durch x1 - 2*x2 - 2*x3 + t =0 , t aus den reellen Zahlen ist eine Schar von Ebenen Et

hier steht doch E bzw E_t verwirrt

verwirrt

und auch der normalenvektor steht doch da, oder verwirrt

verwirrt

08.12.2013, 17:34

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Bin ich jetzt einfach zu blöd das zu sehen oder reden wir aneinander vorbei?

Rein intuitiv würde ich sagen der Normalvektor ist n_t = (1, -2, -2)

Jetzt habe ich einen Vektor der Senkrecht zur Ebene der Schar steht. Wie soll ich damit denn jetzt irgendetwas in Abhängigkeit von t zeigen?

08.12.2013, 18:52

riwe

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder

Zitat:

Original von Unbegabt
Bin ich jetzt einfach zu blöd das zu sehen oder reden wir aneinander vorbei?

Rein intuitiv würde ich sagen der Normalvektor ist n_t = (1, -2, -2)

Jetzt habe ich einen Vektor der Senkrecht zur Ebene der Schar steht. Wie soll ich damit denn jetzt irgendetwas in Abhängigkeit von t zeigen?

das ist schon ok und nicht so "unbegabt"
.
und nun schau dir den normalenvektor der fläche ABCD an!
was folgt denn daraus verwirrt

verwirrt

08.12.2013, 20:55

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Ist denn der Normalvektor der Ebene ABCD = AB x AD = BC x CD ? x ist in diesem fall das Zeichen für das Kreuzprodukt

08.12.2013, 21:30

riwe

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
ja

08.12.2013, 22:42

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Also AB = (0, -6, 6) und AD = (8, 2, 2)

AB x AD = n(ABCD) = (0, 48, 0)

Daraus folgt das für x1 = 0 und x3 = 0 und somit gilt:

-2*x2 + t = 0
<=> 2*x2 = t

also heißt das, dass Et eine ebene des Oktaeders schneidet wenn t = 2*x2 ist?

08.12.2013, 23:29

riwe

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
also ich bin ja en laei, aber für mich berechnet man den normalenvektor einfach so

$\begin{eqnarray*} \vec{n}=\overrightarrow{FG}=\begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix} =-\begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was ja ziemlich bekannt vorkommen sollte unglücklich

unglücklich

und nun geht´s so weiter: registriere dich
und warte auf bürgi, der das eh alles viel besser kann Freude

Freude

und noch ein bilderl

09.12.2013, 13:50

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Hallo,

@riwe: Danke für die Blumen!

Zitat:

Also AB = (0, -6, 6) und AD = (8, 2, 2)
AB x AD = n(ABCD) = (0, 48, 0)

Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie Du zu diesem Ergebnis kommst. Hier ist meine Methode:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0\\-6\\6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}8\\2\\2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6 \cdot 2 - 2 \cdot 6\\-(0 \cdot 2 - 8 \cdot 6)\\0 \cdot 2 - (8 \cdot (-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-24\\48\\48 \end{pmatrix} = (-24) \cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn Du weitere Erläuterungen zum Rechenweg brauchst, schreib das!

Zitat:

Durch x1 - 2*x2 - 2*x3 + t =0 , t aus den reellen Zahlen ist eine Schar von Ebenen Et gegeben.

Wie Du siehst, ändert sich der Normalenvektor der Ebenen nicht, d.h., sie laufen zur Ebene ABCD parallel. Du kannst Dir jetzt überlegen, wann eine Ebene aus der Schar mit dem Oktaeder genau einen Punkt gemeinsam hat (welche(r) könnte(n) das sein?), womit Du das Intervall für t bestimmen kannst, bei dem es überhaupt gemeinsame Punkte geben kann.

Zitat:

b) Welche Ebenen der Schar schneiden aus dem Oktaeder ein Quadrat aus, dessen Flächeninhalt halb so groß ist wie der Flächeninhalt des Quadrates ABCD?

Gesucht werden mehrere Ebenen (ich habe deshalb die Pluralform hervorgehoben). Wie Du sie finden kannst, wird Dir anhand von riwes Zeichnung deutlich. Wenn nicht, melde Dich.

09.12.2013, 16:19

Unbegabt

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Erstmal vielen Dank für eure Geduld, manchmal stell ich mich glaub ich einfach ein wenig blöd an LOL Hammer

LOL Hammer

Zitat:

Ich kann leider nicht nachvollziehen, wie Du zu diesem Ergebnis kommst.

Sowas passiert wenn man zu faul ist sich die Zeit zu nehmen alles aufzuschreiben und versucht das Kreuzprodukt "eben schnell" im Kopf zu berechnen...

Zitat:

Wie Du siehst, ändert sich der Normalenvektor der Ebenen nicht, d.h., sie laufen zur Ebene ABCD parallel.

Jetzt bin ich verwirrt, ich dachte der Normalvektor steht senkrecht zur Ebene.

Zitat:

Du kannst Dir jetzt überlegen, wann eine Ebene aus der Schar mit dem Oktaeder genau einen Punkt gemeinsam hat (welche(r) könnte(n) das sein?)

Zwei Ebenen haben alle Punkte gemeinsam wenn sie gleich groß sind und genau übereinander liegen. Einen Punkt haben sie gemeinsam wenn sie nur an den Ecken übereinander liegen. (siehe Zeichnung, hab meine Überlegung versucht Anschaulich zu skizzieren)

Also Wenn der Mittelpunkt der Ebene Et die selben Koordinaten hab wie G (oder F) und wenn die Eckpunkte der Ebene Et wie in meiner Skizze übereinander liegen schneidet Et das Oktaeder.

?????

09.12.2013, 17:25

riwe

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
bürgi meint natürlich, die EBENEN E(t) liegen parallel zur ebene ABCD.

eine ebene hat keinen mittelpunkt unglücklich

unglücklich

ansonsten denke ich, meinst du das richtige.
bleiben noch die beiden ebenen, die die halbe Grundfläche aus dem oktaerder rausschnipseln Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.12.2013, 21:03

Bürgi

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RE: Vektorgeometrie Oktaeder
Guten Abend,

Deine Ergebnisse sehen gut aus und mit riwes zusätzlichen Erläuterungen (@riwe: Danke!) sollten Dir die nächsten Schritte nicht mehr schwer fallen:

1. Für welchen t-Wert liegt F in einer der Ebenen der Ebenenschar E(t)?

2. Für welchen t-Wert liegt G in einer der Ebenen der Ebenenschar E(t)?

3. Wie lang muss die Seite eines Quadrates sein, welches die halbe Flächengröße wie ABCD hat?

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