Tetraeder in einem Würfel

09.08.2004, 07:58	Anna33	Auf diesen Beitrag antworten »
Tetraeder in einem Würfel Morgen! Folgende Aufgabe macht mir Kopfzerbrechen...(wie könnte es auch anders sein..): In einem Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge a werden durch die Punkte BDE, BDG, DEG und BEG Ebenen gelegt, die jeweils eine Pyramide abschneiden; als Restkörper verbleibt ein regelmässiges Tetraeder. a) Drücken Sie das Volumen dieses Tetraeders durch a aus b) Ebenso den Inhalt seiner Oberfläche c) Wie gross ist das Volumen des Tetraeders, wenn die Oberfläche 400cm2 beträgt? Denkansatz: 1. Volumen des Würfels berechnen (a ist ja gegeben) 2. Volumen der 4 Pyramiden berechnen und vom Volumen des Würfes abziehen Nun zu Denkansatz 2: ich würde die Formel V = 1/3 * a2 * h benutzen. Allerdings ist mir nicht klar, wie ich auf h komme...Habe den scharfen Verdacht, dass der Pythagoras ins Spiel kommt, aber wie genau ist mir nicht klar...Von meinem Dreieck habe ich ja nur eine bekannte Seite (Raumdiagonale des Würfels). .. Oh, hoppla = habe gerade die Zeichnung nochmals betrachtet: dann wäre also d (des Würfels) gleich die Hypotenuse und die Kanten (des Würfels = a) die Katheten.... Aber irgendwie hilft mir das auch nicht weiter... Nun bin ich ziemlich verwirrt... LG, Anna
09.08.2004, 08:24	johko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tetraeder in einem Würfel Hallo aus O! Ich hab da mal eine Idee: Berechne und zeichne dir genau eine Schnittvorlage und bastel dir daraus einen Tetraeder mit z.B. a= 5cm aus Papier. Und weil es schade um die gedankliche Vorarbeit wäre, bastelst du noch einen und noch einen - bis du den Würfel zusammenstecken kannst. Dann hast du es bestimmt leichter mit der Lösung. Johko
09.08.2004, 14:16	Anna33	Auf diesen Beitrag antworten »
tja, habe noch nie gehört (oder selbst erlebt), dass man an einer Prüfung Zeit zum basteln hat...
09.08.2004, 16:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Idee, vom Würfel die Pyramiden abzuziehen, ist vollkommen o.k. Bei diesen Pyramiden kannst du die halbe Quadratseite des Würfels als Grundseite wählen und die Würfelkante als Höhe. Da gibt es so gut wie nichts zu rechnen. Ansetzen, hinschreiben, fertig! Und bei der Tetraederoberfläche mußt du beachten, daß alle Tetraederseiten gleichseitige Dreiecke sind. Dafür gibt es eine bekannte Flächenformel, die sich auch leicht mit Pythagoras herleiten läßt. Und die Grundkante einer solchen Dreiecksfläche ist im ursprünglichen Würfel die Diagonale des Quadrates. Hilft das weiter?
09.08.2004, 18:11	Anna33	Auf diesen Beitrag antworten »
@Leopold Vielen Dank! Werd's gleich mal versuchen. LG, Anna
11.08.2004, 16:36	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnelle Formel Fürs nächste mal: Die Volumenformel für ein Tetraeder ist: $\begin{eqnarray} V=\frac{d^3}{12} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ Herleitbar mittels mehreren Pythagorassen: $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{3}G\cdot H \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G=\frac{d}{2}\cdot h \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=\sqrt{d^2-\frac{d^2}{4}}= \frac{d}{2} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H=\sqrt{d^2-(\frac{2}{3}h)^2} =\sqrt{d^2-\frac{d^2}{3}}=d\sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V=\frac{1}{3}\cdot\frac{d}{2}\cdot \frac{d}{2}\sqrt{3}\cdot d\sqrt{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ d ist hierbei die Seitendiagonale Deines Würfels. h die Höhe einer Seitenfläche und H die Höhe des Tetraeders. Zum Überprüfen der Differenzen Sollte das gleiche ergeben wie $\begin{eqnarray} a^3-4\cdot \frac{a^3}{6} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d=a\sqrt{2} \end{eqnarray}$ Kannste ja mal nachrechnen, ist ein schöner Weg um auf einfache Weise an die VolumenFormel des Tetraeders zu kommen, Danke, kann ich gut für die Nachhilfe gebrauchen.
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