Ableiten von Summen

07.12.2013, 13:31

David8

Ableiten von Summen

Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich sitze hier grad über ner Fragestellung (inkl. Lösungen), kann einzelne Schritte aber nicht ganz nachvollziehen.

Folgendes Problem:

Gegeben ist eine Nutzenfunktion u(x(p,y)), wobei p den Preisvektor beschreibt:

$\begin{eqnarray*} u(x(p,y))=\sum\limits_{i=1}^n a_{i}*ln(\frac{a_{i}}{p_{i}}*y) = ln(y)+\sum\limits_{i=1}^n a_{i}*ln(a_{i})-\sum\limits_{i=1}^n a_{i}*ln(p_{i}) \end{eqnarray*}$

Desweiteren gilt: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_{i}=1 \end{eqnarray*}$

Bei der Ableitung nach $\begin{eqnarray*} p_{i} \end{eqnarray*}$ ergibt sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{-a_{i} }{p_{i}} \end{eqnarray*}$

Hier meine Probleme:

Ich verstehe nicht ganz, wie man hier mit dem Summenzeichen umgehen muss. Mir ist klar, dass man bei der 1. Gleichung das ln(y) vor die Summe ziehen kann, weil es sich hierbei um eine Konstante handelt. Danach wird $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_{i}=1 \end{eqnarray*}$ gesetzt, deshalb steht nach dem Gleichheitsszeichen auch nur noch ln(y). Warum kann man das nicht auch bei den beiden anderen Termen tun, damit es am Ende nur noch $\begin{eqnarray*} u(x(p,y))=ln(y)+ln(a_{i})-ln(p_{i}) \end{eqnarray*}$ heisst? Hat doch was mit den Indizes zu tun, oder?

Und meine zweite Frage bezieht sich auf die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} p_{i} \end{eqnarray*}$ . Dort verstehe ich nicht, wie man $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a_{i} \end{eqnarray*}$ in die Ableitung einbeziehen muss..

Würde mich wirklich freuen, wenn ihr mir weiterhelfen könntet smile

Liebe Grüsse
David

Meine Ideen:
Alles was ich vermute/ahne, hat sich irgendwie als falsch rausgestellt.. unglücklich

07.12.2013, 13:56

YogSothoth

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RE: Ableiten von Summen
Moin,

zu deiner ersten Frage:
Da ist deine Idee

Zitat:

Original von David8
Hat doch was mit den Indizes zu tun, oder?

genau richtig, denn $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ ist, im Gegensatz zu $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ , vom Index $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ abhängig, also keine Konstante die man aus der Summe herausziehen kann.

Wenn du die Ableitung nach $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq n \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac d{d p_j}u(x(p,y))=\frac{d}{d p_j}ln(y)+\frac{d}{d p_j}\sum\limits_{i=1}^na_i ln(a_i)-\frac{d}{d p_j}\sum\limits_{i=1,i\neq j}^na_iln(p_i)-\frac{d}{d p_j}a_jln(p_j) \end{eqnarray*}$ .

Hier habe ich lediglich den Fall $\begin{eqnarray*} i=j \end{eqnarray*}$ aus der letzten Summe herausgezogen und dann
die Summenregel für Ableitungen angewandt.

Was ergibt sich, wenn man die Ableitungen der einzelnen Summanden dann berechnet?
Kleiner Tipp: Die meisten Summanden sind Konsanten, die nicht von $\begin{eqnarray*} p_j \end{eqnarray*}$ abhängen.

07.12.2013, 17:50

David8

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Ahh! Alle Summanden ergeben 0 (da dort kein $\begin{eqnarray*} p_{j} \end{eqnarray*}$ vorkommt), bis auf den letzten Summanden. Dort lautet die Ableitung dann $\begin{eqnarray*} \frac{du(x(p,y))}{dp_{j}}=\frac{-a_{j}}{p_{j}} \end{eqnarray*}$ , was auch bei mir in den Unterlagen steht! :-)

Super, vielen herzlichen Dank! :-)

Liebe Grüsse Freude

07.12.2013, 17:53

YogSothoth

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Gern geschehen smile

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