Gleichmäßige Konvergenz

07.12.2013, 13:46

Freedom Wizard

Gleichmäßige Konvergenz

Würde mich über jede Hilfe bei folgender Aufgabenstellung freuen:

Zeige, dass die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} (f_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f_n:[0,\infty] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n (x)=\frac{x}{n^{2}} e^\frac{x}{n} \end{eqnarray*}$ gleichmäßig gegen die Nullfunktion $\begin{eqnarray*} g:[0,\infty] \to \mathbb R , g(x)=0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Hinweis: Jedes $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ hat ein globales Maximum.

Mein Problem ist: Wo sind die globalen Maxima? Wenn ich dir Funktion ableite, dann befindet sich eine Extremmstelle bei $\begin{eqnarray*} x= -n \end{eqnarray*}$ , aber das ist keine Lösung, weil x keine negative Zahl sein darf. Für sehr große x strebt die Funktion gegen Unendlich (für feste n).

07.12.2013, 14:08

Herijuana

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RE: Gleichmäßige Konvergenz
Ich bin selbst nur Student und habe Angst hier etwas falsches zu behaupten aber wie kommst du darauf das die Extrema bei x= -n liegen ?

Meiner Meinung nach wäre die Ableitung dieser Funktionenfolge nach x:

$\begin{eqnarray*} fn'(x)=\frac{e^{\frac{x}{n} } }{n²}*\left(1+\frac{x}{n} \right) \end{eqnarray*}$

und somit $\begin{eqnarray*} fn'(0)=\frac{1}{n²} \end{eqnarray*}$

das Extremum jedes Folgengliedes müsste dann auch das Supremum der Funktion sein, wobei man noch mit der 2. Ableitung prüfen müsste ob es überhaupt ein Maximum ist.

und somit könnte man nach folgender Definition $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup|fn(x)-f(x) | =0 \end{eqnarray*}$ sagen, dass die Funktionen Folge gleichmäßig gegen die Nullfunktion f(x)=0 strebt.

07.12.2013, 14:24

Freedom Wizard

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$\begin{eqnarray*} f_n'(0)=\frac{1}{n²} \end{eqnarray*}$ sagt dir doch nur, wie die Tangentensteigung an der Stelle Null ist. Aber es sagt dir nicht, dass das ein Maximum (bzw. generell eine Extremmstelle) ist. Um das globale Maximum zu bestimmen, muss man auch zusätzlich das Verhalten in den Randbereichen des Definitionsintervalls überprüfen.

Extremstelle: $\begin{eqnarray*} f_n'(x)=0 \end{eqnarray*}$

07.12.2013, 14:44

Herijuana

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Sry war natürlich Blödsinn was ich geschrieben habe, kleine Verwechslung ^^

Aber wenn ich nicht falsch abgeleitet habe kann es doch kein Maximum auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\infty \right] \end{eqnarray*}$ geben.

07.12.2013, 14:57

Freedom Wizard

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Ich schätze, dass der Übungsleiter sich vertippt hat, oder hat wer anderer vielleicht eine Idee hierzu?

07.12.2013, 15:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von Freedom Wizard
Ich schätze, dass der Übungsleiter sich vertippt hat

Sehe ich genauso. Vielleicht war
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac x{n^2}\mathrm e^{-\frac xn} \end{eqnarray*}$
gemeint.
Schreib ihn dazu mal an und wenn keine rechtzeitige Antwort kommt, zeig einfach, dass die so angegebene Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert.

07.12.2013, 15:05

Herijuana

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Ich weiß das meine Meinung nicht viel wert ist ^^

Aber auch aus logischen Gründen müsste $\begin{eqnarray*} fn(x)=\frac{x}{n²}*e^{\frac{x}{n} } \end{eqnarray*}$ für ein konstantes n und x gegen unendlich, divergieren.

Und für x gegen 0 gegen 0 gehen.

Das sagt auch mein Plot den ich von dieser Funktion für ein paar n erstellt habe.

07.12.2013, 15:09

Freedom Wizard

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Zitat:

Original von Che Netzer
$\begin{eqnarray*} f_n(x)=\frac x{n^2}\mathrm e^{-\frac xn} \end{eqnarray*}$
gemeint.
Schreib ihn dazu mal an und wenn keine rechtzeitige Antwort kommt, zeig einfach, dass die so angegebene Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergiert.

Ja, danke. Habe ihn bereits angeschrieben. Mal sehen, ob was zurück kommt!

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