Normalenvektor

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07.12.2013, 14:41	Jorg	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalenvektor Meine Aufgabe Ich habe zwei Punkte gegeben $\begin{eqnarray} P1=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} P2=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Sie bilden den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{P1P2} =\vec{p2} -\vec{p1} =\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie bilde ich jetzt den Normalenvektor zu $\begin{eqnarray} \vec{P1P2} \end{eqnarray}$ ? Meine Idee $\begin{eqnarray} \vec{n} \vec{P1P2}= 0 \end{eqnarray}$ Wie komme ich jetzt auf a,b,c von $\begin{eqnarray} \vec{n}= \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
07.12.2013, 14:44	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm doch das einfach das Kreuprodukt. Denn das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht immer senkrecht auf diesen Vektoren.
07.12.2013, 14:45	Jorg	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kreuzprodukt der Ortsvektoren der beiden Punkte?
07.12.2013, 14:48	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
07.12.2013, 14:50	Jorg	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn ich eine Gerade mit dem Richtungsvektor $\begin{eqnarray} \vec{a} \end{eqnarray}$ habe und dazu einen Normalenvektor bilden soll?
07.12.2013, 14:53	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Da suchst du dir einfach einen Vektor, der senkrecht zum Richtungsvektor ist. Es muss also das Skalarprodukt dieses Vektors mit dem Richtungsvektor =0 sein.
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07.12.2013, 14:56	Jorg	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie mache ich das? Kann ich da x und y frei bestimmen und muss dann z noch berechnen oder wie geht das?
07.12.2013, 15:11	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben ist und du suchst jetzt den Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann muss gelten: $\begin{eqnarray} ux+vy+wz=0. \end{eqnarray}$ Wenn du jetzt einfach $\begin{eqnarray} x=s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=t \end{eqnarray}$ setzt, erhältst du $\begin{eqnarray} us+tv+wz=0, \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} z=-\frac{us+tv}{w} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} w\neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Für $\begin{eqnarray} w=0 \end{eqnarray}$ kannst du dir das ja selbst überlegen. Also ist für $\begin{eqnarray} w\neq 0 \end{eqnarray}$ der Vektor $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} s \\ t \\ -\frac{us+tv}{w}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ senkrecht zu $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Da kannst du, wie du schon gesagt hast, für s und t eine beliebige Zahl einsetzen, und in Abhängigkeit davon dann die letzte Komponente berechnen. Ein Normalenvektor, den man immer schnell findet, ist $\begin{eqnarray} \vec{n}=\begin{pmatrix} -v \\ u \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dieser ist senkrecht zu $\begin{eqnarray} \vec{a}=\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}. \end{eqnarray}$ Also einfach eine Komponente =0 setzen, die beiden anderen vertauschen und bei einer das Vorzeichen umdrehen. (Man kann also z.B. auch die x-Komponente =0 setzen). Das funktioniert dann auch für w=0.
07.12.2013, 15:21	Jorg	Auf diesen Beitrag antworten »
Berühren sich die beiden Vektoren eigentlich oder verlaufendie nur othogonal zueinander?
07.12.2013, 15:25	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektoren geben ja nur eine Richtung an, haben aber keinen festen Start- oder Endpunkt. Man könnte sie also überall in einem Koordinatensystem einzeichnen. Deswegen kann man auch nicht so etwas sagen wie "Die Vektoren schneiden sich". Was sollen denn berührende Vektoren sein?
07.12.2013, 15:28	Jorg	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit berühren meinte ich schneiden. Hat sich jetzt aber geklärt dank deiner Hilfe. Danke
07.12.2013, 15:34	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen.
08.12.2013, 01:20	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Kreuzprodukt der beiden Ortsvektoren steht normal zu der Ebene OP1P2 und ist allerdings nur eine Möglichkeit. Zu einem einzelnen Vektor gibt aber nicht DEN Normalvektor, sondern unendlich viele (sie liegen alle in einer Normalebene zu P1P2). Das hätte unbedingt gesagt werden müssen. mY+

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