Gleichmässige Konvergenz und Differentation

Neue Frage »

02.03.2007, 16:14

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

Gleichmässige Konvergenz und Differentation

Ich hab eine Frage zu meinem Skript:

Was zum Kuckuck geschieht beim Schritt "und nach Differentation"?

Gruss, Harald

02.03.2007, 16:18

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, es werden beide Seiten der Gleichung nach x differenziert. $\begin{eqnarray*} f_n(a) \end{eqnarray*}$ ist konstant und fällt weg und das Integral wird nach dem Hauptsatz zu seinem Integranden.

02.03.2007, 16:32

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es müsste eigentlich $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} f_n(a) \end{eqnarray*}$ da stehen.

02.03.2007, 16:34

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

und da kommte es gar nicht darauf an, von wo bis wo das Integral läuft? Abgeleitet wird das Integral immer zu seinem Integranden?

02.03.2007, 16:42

sqrt(2)

Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist $\begin{eqnarray*} f: D\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} x_0\in D \end{eqnarray*}$ , so ist die Funktion $\begin{eqnarray*} F: D\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(x)=\int_{x_0}^x f(x)~\dx \end{eqnarray*}$ differenzierbar und es ist $\begin{eqnarray*} F'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ .

02.03.2007, 16:44

Lazarus

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{x}~f(t)~\dd t=F(x)-F(a) \end{eqnarray*}$

Das ganze Abgeleitet:
$\begin{eqnarray*} \left[F(x)-F(a)\right]'=(F(x))'-(F(a))' = f(x) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} (F(x))'=f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(a) \end{eqnarray*}$ konstant.

02.03.2007, 16:46

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Harald Kurse
und da kommte es gar nicht darauf an, von wo bis wo das Integral läuft? Abgeleitet wird das Integral immer zu seinem Integranden?

Ja, zu dem Integranden mit der oberen Grenze eingesetzt. Das sieht man auch so: Sei F Stammfunktion von f. Dann

$\begin{eqnarray*} \frac{\int_a^x f(t)\,dt - \int_a^{x_0}f(t)\,dt}{x - x_0} = \frac{\int_{x_0}^x f(t)\,dt}{x - x_0} = \frac{F(x) - F(x_0)}{x - x_0}\longrightarrow F'(x_0) = f(x_0). \end{eqnarray*}$

02.03.2007, 17:21

Harald Kurse

Auf diesen Beitrag antworten »

super, ich danke euch für die rasche antwort

gruss, harald

Neue Frage »

Antworten »

Gleichmässige Konvergenz und Differentation

Verwandte Themen