Handelt es sich um Unterräume?

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mintz Auf diesen Beitrag antworten »
Handelt es sich um Unterräume?
Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Problem bei meinen Hausaufgaben...
Ich soll bei den Teilmengen a + b überprüfen, ob es sich um Unterräume handelt.
a)
b)

Meine Ideen:
a) mich irritieren irgendwie die Betragsstriche, die keine sind. So wie ich das in der Vorlesung gehört habe, handelt es sich um euklidische Norm. Aber ich weiß nicht, wie ich das hier umsetzen soll.

b) hier stört mich, dass ich jetzt zwei Vektoren habe, die aber jeweils aus und sind.



Ich muss ja, wenn ich überprüfen will, gucken nach
- Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
- Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation
also ob nach Addition zweier beliebiger Vektoren, bzw Multiplikation eines beliebigen Vektors mit einem beliebigen Skalar das selbe wieder herausbekomme.
Nur hatten wir das noch nie mit solchen Nebenbedingungen und ich weiß nicht, wie ich das umsetzen soll.
Könnt ihr mir bitte auf die Sprünge helfen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kennst du die Vorschaufunktion? Solltest du vielleicht mal nutzen.
mintz Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Handelt es sich um Unterräume?
okay, irgendwas ist schief gegangen. das sollte so sein:

a) {}
b) {}
mintz Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich eigentlich und da wurde das richtig angezeigt, ich weiß auch nicht warum...

{}
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt aber nicht dein Ernst, oder?
Hatte ich nicht eben etwas von "Vorschaufunktion benutzen" geschrieben?


Edit: OK, jetzt ist es richtig.

Ist bei euch ein Unterraum das gleiche wie ein Untervektorraum?
mintz Auf diesen Beitrag antworten »

ja ist gleich, so weit ich das verstanden habe
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir mal mit an.

Wie du schon geschrieben hast, musst du Abgeschlossenheit bzgl. Addition und skalarer Multiplikation prüfen. Zusätzlich musst du auch noch zeigen, dass die Menge nicht leer ist (dazu kann man auch einfach zeigen, dass der Nullvektor enthalten ist).

Das letzte ist am einfachsten. Wie könnte man das zeigen?

Für die Abgeschlossenheit der Addition nimmst du dann zwei Vektoren aus der Menge und zeigst dass deren Summe auch in der Menge liegt.
mintz Auf diesen Beitrag antworten »

ja das mit der Theorie, was man da machen soll, habe ich auch schon nachgegoogelt aber nirgendwo steht, WIE man das jetzt genau durchführen soll. Die sagen immer nur allgemein: mach das so.

ich wäre dir wirklich wirklich dankbar, wenn du das für vollpfosten erklären könntest (*ist jetzt voll und ganz ernst gemeint)

das mit der Leeren Menge weiß ich nur die Definition, nämlich eine Menge, die keine Elemente enthält. und ich würde da einfach dumm sagen, in der Mengenklammer steht doch was, also keine Leere Menge!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Handelt es sich um Unterräume?
Zitat:
Original von mintz
Meine Frage:
Hallo!
Ich habe ein Problem bei meinen Hausaufgaben...
Ich soll bei den Teilmengen a + b überprüfen, ob es sich um Unterräume handelt.
a)
b)

Meine Ideen:
a) mich irritieren irgendwie die Betragsstriche, die keine sind. So wie ich das in der Vorlesung gehört habe, handelt es sich um euklidische Norm. Aber ich weiß nicht, wie ich das hier umsetzen soll.

b) hier stört mich, dass ich jetzt zwei Vektoren habe, die aber jeweils aus und sind.



Ich muss ja, wenn ich überprüfen will, gucken nach
- Abgeschlossenheit bezüglich der Addition
- Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation
also ob nach Addition zweier beliebiger Vektoren, bzw Multiplikation eines beliebigen Vektors mit einem beliebigen Skalar das selbe wieder herausbekomme.
Nur hatten wir das noch nie mit solchen Nebenbedingungen und ich weiß nicht, wie ich das umsetzen soll.
Könnt ihr mir bitte auf die Sprünge helfen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nur, weil in der Mengenklammer was steht, heißt das nicht, dass die Menge nicht leer ist. Was ist denn z.B. mit Diese Menge ist offensichtlich leer.

Mach es so, wie ich oben gesagt habe: Zeige, dass beispielsweise der Nullvektor in der Menge enthalten ist. Denn wenn dieser nicht enthalten wäre, dann wäre die Menge auch kein Untervektorraum.
mintz Auf diesen Beitrag antworten »

also für a)

für x,y,z 0 einsetzen?
|0-0-0|=0 --> Gleichung stimmt, also NP enthalten!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn NP?
Jedenfalls ist der Nullvektor in der Menge enthalten.

Jetzt die Addition: Du nimmst zwei Vektoren aus der Menge, z.B. und
Da beide Vektoren in der Menge enthalten sind, gilt für beide Vektoren die Gleichung.

Du bildest jetzt die Summe der beiden Vektoren, und guckst, ob die Gleichung auch für die Summe gilt. Wenn ja, ist die Menge abgeschlossen bzgl. Addition, wenn nicht, dann ist sie nicht abgschlossen.
mintz Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich dann

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso das denn?

mintz Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich habe doch die Nebenbedingung

|x-y-z|=0

brauche ich das noch nicht?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest erstmal nur die zwei Vektoren addieren. Wie das geht, weißt du ja wohl. Das hat überhaupt nichts mit dieser Gleichung zu tun.

Die kommt erst jetzt in Spiel. Was muss für diese Summe gelten, damit sie in der Menge liegt? Wie lautet diese Gleichung, die man überprüfen muss, also für diesen Vektor?
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

also damit die Summe der Vektoren

in der Menge liegt, müssen sie gleich sein, richitg?
und das überprüfe ich, indem ich in die Gleichung |x-y-z|=0 einsetze.

das ergibt:



oder?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn darauf?
|x-y-z|=0 ist eine Gleichung mit einem Betrag, in dem drei reelle Zahlen stehen.

Das, was du geschrieben hast, ist der Betrag des Vektors.

Du musst einfach in |x-y-z|=0 die x-, y- und z-Komponenten des Vektors einsetzen.
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

habe ich dann nicht einfach:
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Und jetzt überprüfst du, ob diese Gleichung gilt. Du weißt ja, dass und ist. (Deswegen ist dann auch und )
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

dann habe ich einfach
|0-0|= 0 ?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Also gilt die Gleichung.
Deswegene ist der Summenvektor in der Menge enthalten, und die Addition ist abgeschlossen.

Weißt du jetzt, wie du das mit Multiplikation überprüfen kannst?
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich mich nicht (wie normalerweise) irre,
dann muss ich rechnen:



und das ist gleich



und das muss ich wieder in die Gleichung |x-y-z| = 0 einsetzen und bekomme raus:



und die Multiplikation ist auch abgeschlossen....?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Super. smile
Jetzt hast du es ja verstanden. Ist jedenfalls richtig.

Damit weißt du jetzt, dass die Menge ein Untervektorraum ist.
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

aber: jetzt frage ich mich, wieso stehen da Betragsstriche?
wir hatten vorher Aufgaben, da war das alles genauso, nur ohne die Betragsstriche bei den Nebenbedingungen.

Und in der letzten Vorlesung hat man uns was von euklidische Norm erzählt, also
|x| = <x,x>^0,5
wobei ist

deswegen dachte ich, dass die Betragsstriche irgendeine besondere Bedeutung hier haben...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eben so definiert. Da kann man jetzt nichts besonderes zu sagen.

Die Betragsstriche stehen da einfach, weil man den Betrag der Zahl x-y-z nehmen soll.
Allerdings gilt Deswegen könnte man hier auch schreiben
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

also sind diese Betragsstriche aus der Aufgabenstellung einfach nur normale Betragsstriche und meinen NICHT die euklidische Norm?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, eigentlich ist ja der "normale" Betrag (also der Betrag einer reellen Zahl) auch eine euklidische Norm (eben für eindimensionale Vektoren).
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von drrr
also sind diese Betragsstriche aus der Aufgabenstellung einfach nur normale Betragsstriche und meinen NICHT die euklidische Norm?


ach so okay, verstehe^^




kannst du mir vielleicht auch bei der Zweiten Teilaufgabe helfen?
da habe ich ja keine Gleichung, wo ich was einsetzen kann
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss jetzt weg, bin wahrscheinlich erst morgen wieder da. Wollen wir dann weitermachen?
Es kann natürlich auch gern jemand anders hier übernehmen.

Nur noch ein Tipp: enthält alle Vektoren , wobei x und y irgendwelche reellen Zahlen sind.

Also ist z.B. in der Menge (da ist x=1 und y=2). Es ist auch in der Menge ().


Du solltest also schon mal überprüfen können, ob der Nullvektor in der Menge ist.
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

alles, klar
bis hierhin erst mal vielen vielen dank!!!!!!!!
ich hoffe ich bekomme das noch bis morgen hin
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst ja dann einfach mal deine Lösung hier posten.
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe jetzt für mein Nullvektor, dass er enthalten ist, denn wenn ich für x=0 und y=0 einsetzte, komme ich auf x+x*y+x-y=0

für Addition habe ich



und für Multiplikation


jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

und irgendwie soll
bzw sein
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von drrr
also ich habe jetzt für mein Nullvektor, dass er enthalten ist, denn wenn ich für x=0 und y=0 einsetzte, komme ich auf x+x*y+x-y=0

Du darfst die einzelnen Komponenten nicht einfach addieren. Es muss jede Komponente einzeln 0 werden, damit das dann der Nullvektor ist. Aber du hast Recht: Mit x=0 und y=0 ergibt sich der Nullvektor.


Zitat:
Original von drrr



Genau.
Jetzt guckst du, ob dieser Vektor in der Menge ist, d.h. ob es reelle Zahlen gibt mit


Denn laut Definition lassen sich ja alle Vektoren in der Menge als ein solcher Vektor (auf der linken Seite) darstellen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 10001000Nick1

Genau.
Jetzt guckst du, ob dieser Vektor in der Menge ist, d.h. ob es reelle Zahlen gibt mit


Denn laut Definition lassen sich ja alle Vektoren in der Menge als ein solcher Vektor (auf der linken Seite) darstellen.


Und genau daran scheitert es jetzt.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist mir schon klar. Aber ich dachte ja, dass drrr da selbst drauf kommt.
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

also dann habe ich



oder?



lästert ihr beide da etwa über mich?!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von drrr
lästert ihr beide da etwa über mich?!

Nein! Wenn das so rüberkam, tut es mir leid. Ich habe mich nur gewundert, warum RavenOnJ das jetzt hier gepostet und somit schon (fast) die Lösung verraten hat.

Du musst jetzt gucken, ob es für diese Gleichungen Werte von x und y geben kann.
Aus der ersten Gleichung weißt du ja . Damit erhältst du aus der dritten Gleichung .
Setz das dann mal in die zweite Gleichung ein. Dann wird dir etwas auffallen.
drrr Auf diesen Beitrag antworten »

ja jetzt habe ich das auch verstanden^^

nach der ersten Gleichung habe ich


und wenn ich mir die dritte Gleichung angucke, habe ich



hier stimmt mein x aus der 3. Gleichung mit mein x aus der 1. Gleichung überein, und ich habe noch zusätzlich mein y raus

aber wenn ich das in die 2. Gleichung einsetze, stimmt die Gleichung nicht mehr, weil auf der rechten Seite fehlt
demnach ist die Addition nicht abgeschlossen!

und es handelt sich nicht um ein Unterraum~
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