Handelt es sich um Unterräume? |
08.12.2013, 13:43 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Handelt es sich um Unterräume? Hallo! Ich habe ein Problem bei meinen Hausaufgaben... Ich soll bei den Teilmengen a + b überprüfen, ob es sich um Unterräume handelt. a) b) Meine Ideen: a) mich irritieren irgendwie die Betragsstriche, die keine sind. So wie ich das in der Vorlesung gehört habe, handelt es sich um euklidische Norm. Aber ich weiß nicht, wie ich das hier umsetzen soll. b) hier stört mich, dass ich jetzt zwei Vektoren habe, die aber jeweils aus und sind. Ich muss ja, wenn ich überprüfen will, gucken nach - Abgeschlossenheit bezüglich der Addition - Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation also ob nach Addition zweier beliebiger Vektoren, bzw Multiplikation eines beliebigen Vektors mit einem beliebigen Skalar das selbe wieder herausbekomme. Nur hatten wir das noch nie mit solchen Nebenbedingungen und ich weiß nicht, wie ich das umsetzen soll. Könnt ihr mir bitte auf die Sprünge helfen? |
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08.12.2013, 13:44 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kennst du die Vorschaufunktion? Solltest du vielleicht mal nutzen. |
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08.12.2013, 13:46 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Handelt es sich um Unterräume? okay, irgendwas ist schief gegangen. das sollte so sein: a) {} b) {} |
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08.12.2013, 13:49 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
habe ich eigentlich und da wurde das richtig angezeigt, ich weiß auch nicht warum... {} |
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08.12.2013, 13:50 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist jetzt aber nicht dein Ernst, oder? Hatte ich nicht eben etwas von "Vorschaufunktion benutzen" geschrieben? Edit: OK, jetzt ist es richtig. Ist bei euch ein Unterraum das gleiche wie ein Untervektorraum? |
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08.12.2013, 13:53 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja ist gleich, so weit ich das verstanden habe |
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08.12.2013, 13:58 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fangen wir mal mit an. Wie du schon geschrieben hast, musst du Abgeschlossenheit bzgl. Addition und skalarer Multiplikation prüfen. Zusätzlich musst du auch noch zeigen, dass die Menge nicht leer ist (dazu kann man auch einfach zeigen, dass der Nullvektor enthalten ist). Das letzte ist am einfachsten. Wie könnte man das zeigen? Für die Abgeschlossenheit der Addition nimmst du dann zwei Vektoren aus der Menge und zeigst dass deren Summe auch in der Menge liegt. |
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08.12.2013, 14:03 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja das mit der Theorie, was man da machen soll, habe ich auch schon nachgegoogelt aber nirgendwo steht, WIE man das jetzt genau durchführen soll. Die sagen immer nur allgemein: mach das so. ich wäre dir wirklich wirklich dankbar, wenn du das für vollpfosten erklären könntest (*ist jetzt voll und ganz ernst gemeint) das mit der Leeren Menge weiß ich nur die Definition, nämlich eine Menge, die keine Elemente enthält. und ich würde da einfach dumm sagen, in der Mengenklammer steht doch was, also keine Leere Menge! |
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08.12.2013, 14:07 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Handelt es sich um Unterräume?
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08.12.2013, 14:09 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nur, weil in der Mengenklammer was steht, heißt das nicht, dass die Menge nicht leer ist. Was ist denn z.B. mit Diese Menge ist offensichtlich leer. Mach es so, wie ich oben gesagt habe: Zeige, dass beispielsweise der Nullvektor in der Menge enthalten ist. Denn wenn dieser nicht enthalten wäre, dann wäre die Menge auch kein Untervektorraum. |
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08.12.2013, 14:12 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also für a) für x,y,z 0 einsetzen? |0-0-0|=0 --> Gleichung stimmt, also NP enthalten! |
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08.12.2013, 14:19 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was heißt denn NP? Jedenfalls ist der Nullvektor in der Menge enthalten. Jetzt die Addition: Du nimmst zwei Vektoren aus der Menge, z.B. und Da beide Vektoren in der Menge enthalten sind, gilt für beide Vektoren die Gleichung. Du bildest jetzt die Summe der beiden Vektoren, und guckst, ob die Gleichung auch für die Summe gilt. Wenn ja, ist die Menge abgeschlossen bzgl. Addition, wenn nicht, dann ist sie nicht abgschlossen. |
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08.12.2013, 14:31 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
habe ich dann |
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08.12.2013, 14:34 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso das denn? |
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08.12.2013, 14:45 | mintz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber ich habe doch die Nebenbedingung |x-y-z|=0 brauche ich das noch nicht? |
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08.12.2013, 14:47 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du solltest erstmal nur die zwei Vektoren addieren. Wie das geht, weißt du ja wohl. Das hat überhaupt nichts mit dieser Gleichung zu tun. Die kommt erst jetzt in Spiel. Was muss für diese Summe gelten, damit sie in der Menge liegt? Wie lautet diese Gleichung, die man überprüfen muss, also für diesen Vektor? |
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08.12.2013, 17:20 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also damit die Summe der Vektoren in der Menge liegt, müssen sie gleich sein, richitg? und das überprüfe ich, indem ich in die Gleichung |x-y-z|=0 einsetze. das ergibt: oder? |
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08.12.2013, 17:23 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommst du denn darauf? |x-y-z|=0 ist eine Gleichung mit einem Betrag, in dem drei reelle Zahlen stehen. Das, was du geschrieben hast, ist der Betrag des Vektors. Du musst einfach in |x-y-z|=0 die x-, y- und z-Komponenten des Vektors einsetzen. |
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08.12.2013, 17:26 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
habe ich dann nicht einfach: |
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08.12.2013, 17:29 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig. Und jetzt überprüfst du, ob diese Gleichung gilt. Du weißt ja, dass und ist. (Deswegen ist dann auch und ) |
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08.12.2013, 17:31 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann habe ich einfach |0-0|= 0 ? |
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08.12.2013, 17:33 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Also gilt die Gleichung. Deswegene ist der Summenvektor in der Menge enthalten, und die Addition ist abgeschlossen. Weißt du jetzt, wie du das mit Multiplikation überprüfen kannst? |
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08.12.2013, 17:38 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn ich mich nicht (wie normalerweise) irre, dann muss ich rechnen: und das ist gleich und das muss ich wieder in die Gleichung |x-y-z| = 0 einsetzen und bekomme raus: und die Multiplikation ist auch abgeschlossen....? |
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08.12.2013, 17:39 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super. Jetzt hast du es ja verstanden. Ist jedenfalls richtig. Damit weißt du jetzt, dass die Menge ein Untervektorraum ist. |
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08.12.2013, 17:43 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
aber: jetzt frage ich mich, wieso stehen da Betragsstriche? wir hatten vorher Aufgaben, da war das alles genauso, nur ohne die Betragsstriche bei den Nebenbedingungen. Und in der letzten Vorlesung hat man uns was von euklidische Norm erzählt, also |x| = <x,x>^0,5 wobei ist deswegen dachte ich, dass die Betragsstriche irgendeine besondere Bedeutung hier haben... |
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08.12.2013, 17:45 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist eben so definiert. Da kann man jetzt nichts besonderes zu sagen. Die Betragsstriche stehen da einfach, weil man den Betrag der Zahl x-y-z nehmen soll. Allerdings gilt Deswegen könnte man hier auch schreiben |
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08.12.2013, 17:46 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also sind diese Betragsstriche aus der Aufgabenstellung einfach nur normale Betragsstriche und meinen NICHT die euklidische Norm? |
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08.12.2013, 17:50 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, eigentlich ist ja der "normale" Betrag (also der Betrag einer reellen Zahl) auch eine euklidische Norm (eben für eindimensionale Vektoren). |
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08.12.2013, 17:50 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ach so okay, verstehe^^ kannst du mir vielleicht auch bei der Zweiten Teilaufgabe helfen? da habe ich ja keine Gleichung, wo ich was einsetzen kann |
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08.12.2013, 17:55 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich muss jetzt weg, bin wahrscheinlich erst morgen wieder da. Wollen wir dann weitermachen? Es kann natürlich auch gern jemand anders hier übernehmen. Nur noch ein Tipp: enthält alle Vektoren , wobei x und y irgendwelche reellen Zahlen sind. Also ist z.B. in der Menge (da ist x=1 und y=2). Es ist auch in der Menge (). Du solltest also schon mal überprüfen können, ob der Nullvektor in der Menge ist. |
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08.12.2013, 17:58 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
alles, klar bis hierhin erst mal vielen vielen dank!!!!!!!! ich hoffe ich bekomme das noch bis morgen hin |
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09.12.2013, 13:34 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du kannst ja dann einfach mal deine Lösung hier posten. |
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09.12.2013, 16:52 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich habe jetzt für mein Nullvektor, dass er enthalten ist, denn wenn ich für x=0 und y=0 einsetzte, komme ich auf x+x*y+x-y=0 für Addition habe ich und für Multiplikation jetzt weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll |
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09.12.2013, 16:59 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
und irgendwie soll bzw sein |
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09.12.2013, 17:02 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du darfst die einzelnen Komponenten nicht einfach addieren. Es muss jede Komponente einzeln 0 werden, damit das dann der Nullvektor ist. Aber du hast Recht: Mit x=0 und y=0 ergibt sich der Nullvektor.
Genau. Jetzt guckst du, ob dieser Vektor in der Menge ist, d.h. ob es reelle Zahlen gibt mit Denn laut Definition lassen sich ja alle Vektoren in der Menge als ein solcher Vektor (auf der linken Seite) darstellen. |
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09.12.2013, 18:15 | RavenOnJ | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und genau daran scheitert es jetzt. |
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09.12.2013, 18:18 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist mir schon klar. Aber ich dachte ja, dass drrr da selbst drauf kommt. |
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09.12.2013, 18:22 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also dann habe ich oder? lästert ihr beide da etwa über mich?! |
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09.12.2013, 18:26 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein! Wenn das so rüberkam, tut es mir leid. Ich habe mich nur gewundert, warum RavenOnJ das jetzt hier gepostet und somit schon (fast) die Lösung verraten hat. Du musst jetzt gucken, ob es für diese Gleichungen Werte von x und y geben kann. Aus der ersten Gleichung weißt du ja . Damit erhältst du aus der dritten Gleichung . Setz das dann mal in die zweite Gleichung ein. Dann wird dir etwas auffallen. |
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09.12.2013, 18:31 | drrr | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ja jetzt habe ich das auch verstanden^^ nach der ersten Gleichung habe ich und wenn ich mir die dritte Gleichung angucke, habe ich hier stimmt mein x aus der 3. Gleichung mit mein x aus der 1. Gleichung überein, und ich habe noch zusätzlich mein y raus aber wenn ich das in die 2. Gleichung einsetze, stimmt die Gleichung nicht mehr, weil auf der rechten Seite fehlt demnach ist die Addition nicht abgeschlossen! und es handelt sich nicht um ein Unterraum~ |
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