Terminale Sigma-Algebra

08.12.2013, 13:29	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Terminale Sigma-Algebra Hallo, Seien $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ unabhängige ZV. Ich will zeigen, dass $\begin{eqnarray} \left\{\omega \in \Omega:\, -\infty <\operatorname {liminf}_{n\to \infty}X_n \leq \operatorname {limsup}_{n\to \infty}X_n<\infty \right\} \end{eqnarray}$ in der Terminalen Sigma-Algebra liebt. Nach Definition $\begin{eqnarray} \, \, T_\infty=\bigcap_{n=1}^\infty (\sigma (\bigcup_{m=n}^\infty (X_m)) \end{eqnarray}$ Dann gilt: $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ ist in $\begin{eqnarray} T_\infty \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall k \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \sigma(X_k)\subset \sigma (\bigcup_{m=k}^\infty (X_m)) \end{eqnarray}$ Daher ist auch der $\begin{eqnarray} \operatorname{liminf/limsup} \end{eqnarray}$ messbar, da $\begin{eqnarray} \operatorname{liminf/limsup} \end{eqnarray}$ von messbaren Funktionen wiederum messbar sind. Daher ist auch $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ messbar, da Mengen mit $\begin{eqnarray} f\leq g \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ messbar wiederum messbar sind. Ich würde mich über eure Kommentare und Verbesserungen freuen, MfG

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