Doppelintegral Dreieck Transformationssatz

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Lomex Auf diesen Beitrag antworten »
Doppelintegral Dreieck Transformationssatz
Meine Frage:
Hallo an alle,

ich sitze seit Tagen an einer Aufgabe und bin fast am Verzweifeln.

Ich habe irgendwie das mit dem Transformationssatz und Flächenintegral von Dreiecken nicht verstanden.

In diesem Forum wurde diese Aufgabe schon einmal gestellt, aber ich komme damit gar nicht klar und möchte es so gerne verstehen.

Meine Ideen:
Der Transformationssatz lautet ja:



Also wenn ich mir die Eckpunkte des Dreiecks und des Referenzdreiecks anschau, dann sieht man ja, dass nur der Wert für die x-Koordinate sich ändert (Streckung von 1 auf 2). Das sieht man ja auch, wenn man die Dreiecke mal in ein Koordinatensystem einzeichnet. Somit hätte ich ja für mein phi(x)=(2x,y).

Ab hier komme ich nicht mehr weiter. Ich weiß nicht, wie ich das nun in meinem Transformationssatz einsetzen muss. Ich dachte, dass hier in diesem Fall die Jacobimatrix für phi(x)folgendermaßen aussieht: (2,0,0,1). Demzufolge hätte ich die Determinante 2.

Was mache ich nun mit dieser Determinante? Und wie sieht nun die Funktion eingesetzt in das Integral aus?

In einem anderen Thread sah die Lösung folgendermaßen aus:



wobei s-->x und t-->y

wie kommt man dadrauf? speziell auf die 8 vor dem s^{2}und die 2 vor dem t?

Zudem habe ich mal versucht, dieses Integral auszurechnen. Bei mir kommt 2/3 raus. Aber in dem anderen Thread steht etwas von 11/3. Habe ich mich irgendwo verrechnet?

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir hier ein wenig weiterhelfen könntet!
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich habe die beiden Dreiecke in ein xy-Koordinatensystem gezeichnet.





Ich würde nun erst mal zwei Normalbereiche der Form






aufschreiben und dann sehen, wie man das eine Dreieck auf das andere Transformieren kann.

Dann das Integral fürs kleinere Dreieck aufschreiben und mittels der Transformationsregeln transformieren.


Grüße
Lomex Auf diesen Beitrag antworten »

Danke erst einmal für die Grafik und die Hilfe.

Leider muss ich gestehen, dass ich damit nicht viel anfangen kann. Ich glaube mit "zwei Normalbereiche" meinst du für jedes der beiden Dreiecke einzeln den Flächeninhalt ausrechnen, oder?

Oh je, ich merke gerade, dass ich erhebliche Schwierigkeiten mit dem Erkennen der Grenzen für die Dreiecke habe.

Könntest du mir vielleicht ein wenig helfen?

Diese ganze Integralgeschichte ist mir so schleierhaft traurig
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hi smile


ich nehme mal das Dreieck mit der kleineren Fläche.


x läuft von 0 bis 1:

wenn x sich ändert ändert sich der obere Rand des Integrationsbereiches.

Er ist eine Funktion von x und zwar

also läuft y von 0 bis x.


daraus folgt der Normalbereich



über den integriert wird




Nun erfolgt die Transformation auf ein neues Koordinatensystem zum Beispiel ein uv-Koordinatensystem,
sodass das kleinere Dreieck stetig auf die Höhe des größeren gestreckt wird.

Wie Lautet nun die Transformation?




Gruß Wink


EDIT: Integral geändert
Lomex Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Christian,

vielen Dank, dass du zu so später Stunde bereit bist, mir zu helfen!

Ich denke ich kann mit deinen tollen Tipps etwas anfangen. Ich habe das von dir aufgestellte Integral des kleinen Dreiecks mal ausgerechnet. Bei mir kam folgendes raus:



nehme ich nun ein neues Koordinatensystem und nenne es mal nach deinen Vorgaben uv-Koordinatensystem

ich ersetze also mein x durch u und mein y durch v

da sich das u verändert, nämlich von 1 auf 2, müsste bei dem größeren Dreieck die Integrationsgrenze für u folgendermaßen aussehen:


0<u<2 (müsste eigentlich das Kleiner-Gleich-Zeichen hin. Aber irgendwie kriege ich das mit Latex hin richtig hin)

und für v gelten natürlich die gleichen Grenzen wie vorher bei y, also:

0<v<u

wenn ich das Integral nun mit den neuen Grenzen ausrechne, kommt bei mir folgendes Ergebnis raus:



wenn ich nun die zwei Ergebnisse vergleiche, komme ich zu der oben (also am Anfang in meiner Aufgabenstellung) beschriebenen, neuen Funktion:

ich ersetze in der Funktion das x durch s und das y durch t (und salopp ausgedrückt: ich muss mein s mit 8 und mein t mit 2 multiplizieren, damit ich vom kleinen zum großen Dreieck komme):



und dann muss ich nur noch die Grenzen angleichen. Hier ist es wieder so, dass
mein t von s abhängt. Mein s geht ja von 0 bis 1 und mein t von s bis 1.

also im Endeffekt:




Ist es eigentlich egal, ob ich schreibe von 1 bis s oder von s bis 1?

Könntest du mir vllt. sagen, ob ich mit meiner Vorgehensweise hier richtig liege?

Ich wäre echt sehr froh, wenn nicht alles Humbug ist, was ich hier ausgerechnet habe.
Lomex Auf diesen Beitrag antworten »

oh...mit deinem Edit sieht die Sache wohl anders aus unglücklich .

Ich habe mich auch gefragt, ob wir eigentlich nicht zuerst nach y, dann nach x integrieren müssen.

Ich glaube ich jetzt erst einmal schlafen. Mein Kopf brodelt langsam.
Schade, meine vorherigen Ergebnisse kamen mir irgendwie plausible vor.
 
 
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

ich habe mir die Aufgabenstellung nochmals durchgelesen.

Das zweite Dreieck sieht so aus.






Das erste so.








ich hätte hier so gerechnet.



und nun das äußere Integral





Ich sehe bei deiner Rechnung nicht so recht durch unglücklich



Ich schreib es mal so wie in der Aufgabenstellung

Wenn ich die Aufgabenstellung richtig verstehe muss man das Intgral



berechnen mit



indem man die Transformationsregeln benutzt und die Funktion

die auf abbildet




Also müssten wir dieses Integral aufstellen



und transformieren



Gruß Wink
Lomex Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

danke nochmal für die Mühe. Genauso verstehe ich die Aufgabe auch.

Ja, also mittlerweile bin ich bei dem kleinen Dreieck auch auf dieses Ergebnis gekommen.

Zu dem vorherigen Ergebnis kam ich durch deine vorherigen Grenzen. Du hast ja vorher zuerst nach x, dann nach y integriert. Da habe ich mir etwas zusammengesponnen. Sorry.

Also vllt. hast du ja ganz am Anfang bei meiner Fragestellung gesehen, dass diese Frage schon einmal von jemandem hier gestellt wurde.
da kam derjenige irgendwie auf:



Und das habe ich nicht verstanden. Weiß auch nicht, ob das überhaupt richtig ist.

Mein Problem ist irgendwie der Transformationssatz (den ich nicht so richtig verstehe). Ich muss peinlicherweise gestehen, dass ich nicht weiß, wie ich das kleine Dreieck in das größere transformieren soll. Also was aus der Formel aus was berechnet wird.

Ich habe versucht, zuerst einmal das Integral des großen Dreiecks separat zu berechnen. Dafür habe ich alles gleich gelassen, bloß, dass ich die Grenzen für x statt von 0 bis 1, von 0 bis 2 gewählt habe.
Dann kam bei mir ein Flächeninhalt von 16/3 raus. Auf der anderen Seite sollte sich die Grenze für y ja dann auch ändern, da sie ja von x abhängt. Muss dann die Grenze für y von 0 bis 1/2x gehen?

Ich blicke hier gar nicht durch unglücklich
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hi

Ich muss ehrlich zugeben, dass ich momentan auch nicht auf die Transformationsformeln komme.


Mein Vorschlag: Stelle deine konkrete Frage mit dem Link zu der Aufgabe, in der die Lösung schon mal gezeigt wurde, nochmal als neuen Beitrag ins Forum.

Dann ist die Chance höher, dass jemand qualifiziertes antwortet. Momentan bin ich an dieser Stelle etwas überfragt und habe etwas wenig Zeit. smile



Gruß Wink
Lomex Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hast du Recht.

Ich werde diesmal einfach nur die Aufgabenstellung hochladen plus den Link zu der schon einmal gelösten Aufgabe. Vllt. ist das dann nicht so ein Wirrwarr.

trotzdem Danke, dass du dir die Mühe gemacht hast smile
Christian_P Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo nochmal eine Ergänzung

Wenn man sich die linken Rand der Dreiecke anschaut und als Vektor auffasst,

kommt man auf die Relation



das bedeutet mutmaßlich dann allgemein




als lineare Abbildung

also

und
Lomex Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Christian,

Danke für den Hinweis.

Mittlerweile habe ich die Lösung mithilfe eines anderen Forummitglieds gefunden.
Aber dein Ansatz ist auch ne tolle Herangehensweise smile .

Bei mir ist es allerdings so, dass ich x=2s genommen habe, also keine Stauchung, sondern Streckung.

Somit ist mein neues x=2s, bedeutet, dass es in die Funktion eingesetzt ist. Dies ist wiederum .
Wenn man dann noch die Determinante von 2 mit der Funktion multipliziert, kommt man auf die Lösung, die auch schon in einem anderen Beitrag gefunden wurde.
also:

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