Konvergenz einer Folge zeigen

08.12.2013, 18:34

Coco18

Konvergenz einer Folge zeigen

Meine Frage:
Ich bin gerade an einer Aufgabe und komme nicht weiter:
Gegeben ist die Folge $\begin{eqnarray*} (x_i)_{n\in\mathbb{N}} \;\;\; \mbox{mit} \;\;\; x_{i+1}=\frac{2}{3}x_i +\frac{5}{3x_i^2} \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist:
i) für jedes $\begin{eqnarray*} x_0 > 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} x_1 \geq x_2 \geq x_3 \geq ... \end{eqnarray*}$
ii) die Folge konvergiert für jedes $\begin{eqnarray*} x_0 > 0 \end{eqnarray*}$ gegen den Grenzwert c (dieser soll auch bestimmt werden)

Meine Ideen:
Ich habe schon vieles ausprobiert, aber komme nicht wirklich weiter unglücklich

Kann mir vielleicht jemand helfen?
Vielen Dank schon mal im voraus!

08.12.2013, 19:26

Alaster

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Was hast du denn ausprobiert?

Abgesehen davon: In dem ersten Teil sollst du zeigen, dass die Folge monoton fällt. Das machst du am besten mit vollständiger Induktion.
Für den zweiten Fall musst du noch zeigen, dass die Folge nach unten beschränkt ist, dann konvergiert sie.

08.12.2013, 19:36

Coco18

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Zitat:

Original von Alaster

Abgesehen davon: In dem ersten Teil sollst du zeigen, dass die Folge monoton fällt. Das machst du am besten mit vollständiger Induktion.

Genau, dass habe ich versucht, aber da komme ich dann immer auf $\begin{eqnarray*} x_1\geq 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$
jetzt ist mein Problem, woher weiß ich denn, dass das stimmt?!

09.12.2013, 10:29

Coco18

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Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich zeige , dass x1<5^(1/3) ??

09.12.2013, 10:36

HAL 9000

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Nicht < sondern >. Und das geht z.B. mit AMGM:

$\begin{eqnarray*} x_{i+1} = \frac{x_i + x_i + \frac{5}{x_i^2}}{3} \geq \sqrt[3]{x_i \cdot x_i \cdot \frac{5}{x_i^2}} = \sqrt[3]{5} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

09.12.2013, 10:48

Coco18

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Vielen, vielen Dank Blumen

das war das was mir noch gefehlt hat smile

09.12.2013, 18:11

Donquixote

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Zu ii) sollte noch gesagt sein, dass $\begin{eqnarray*} lim_{n\rightarrow\infty} x_n=:x \end{eqnarray*}$ der Gleichung $\begin{eqnarray*} x=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3x^2} \end{eqnarray*}$ genügt.

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