lineare Abbildungen

08.12.2013, 19:06	Pusteblume21	Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Abbildungen Aufgabe: Sei A eine $\begin{eqnarray} 5\times 7 \end{eqnarray}$ Matrix mit Einträgen in einem Körper K. Sei $\begin{eqnarray} U \subseteq K^7 \end{eqnarray}$ die Menge aller $\begin{eqnarray} x\in K^7 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} A\cdot x=0 \end{eqnarray}$ . (x aufgefasst als Spaltvektor.) a) Sei $\begin{eqnarray} L: K^7 \to K^5 \end{eqnarray}$ die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} L(x)= A\cdot x \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass Ker(L)=U und dass $\begin{eqnarray} Im(L)=\{y\in K^5: Das LGS A\cdot x=y hat eine Lösung y\ in K^7\} \end{eqnarray}$ . b) Nehmen Sie an, dass es einen Vektor $\begin{eqnarray} v\in K^5 \end{eqnarray}$ gibt für den das LGS $\begin{eqnarray} A\cdot x= v \end{eqnarray}$ keine Lösung hat. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} 3\leq dim_k(U)\leq 7 \end{eqnarray}$ . Finden Sie ein Beispiel einer Matrix A mit $\begin{eqnarray} dim_K(U)=7 \end{eqnarray}$ Lösung: Also zu Aufgabe a) Mir ist irgendwie klar, dass das ganze gilt. Ich meine U ist der UVR mit $\begin{eqnarray} A\cdot x= 0 \end{eqnarray}$ . Das entspricht ja der Definition vom Kern also muss das ganze auch gelten. Was hab ich da noch zu zeigen ? Bei b) weiss ich garnicht weiter, da könnte ich nen kleinen tipp gebrauchen. Mfg. Pusteblume
09.12.2013, 17:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) scheint es sich tatsächlich nur um die Wiederholungen der Definitionen zu handeln. Bei b) geht es darum, dass A nicht fest gegeben sondern variabel ist. Welche möglichen Dimensionen haben dann die Kerne ? Tipp: Rangsatz.

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