Lösung eines LGS in |Q und |R

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LemanRuss Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung eines LGS in |Q und |R
Hi,

1. Entscheiden Sie (mit Begründung!) ob folgendes Gleichungssystem über lösbar ist:



2. Entscheiden Sie auch, ob das Gleichungssystem über lösbar ist und begründen Sie knapp Ihre Antwort.

3. Überlegen Sie allgemein. Seien Körper dergestalt, dass die Addition und Multi plikation auf K durch Einschränkung der entsprechenden Verknüpfungen auf L gegeben sind. In wie weit hängt die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems über K davon ab, ob man Lösungen mit Koordinaten in K oder in L sucht?


Zur 1: Ich habe es auf den harten Weg gelöst, also mit Elimination und bin zu einer falschen Gleichung gekommen. Also ist das System doch i.A. nicht lösbar. Weder in , noch in oder in irgendeinem anderen Körper. Ich frage mich, wo da der Lerneffekt sein soll? Erscheint mir zu einfach.

Noch ne Verständnisfrage abseits der Aufgabe. Nehmen wir mal an man hat ein 3x3 LGS, welches lösbar ist. Dann hat man ja einen "Lösungsvektor" x mit 3 Koordinaten. Aber da es sich in der Linearkombination ja um Multiplikation mit Vektoren handelt, müssten die Koordinaten von x doch aus dem Körper stammen und der ist eindimensional, sprich dürfte nur eine Koordinate haben. Kurz gesagt verstehe ich nicht, wo der Lösungsvektor herkommt.

Zur 3: Ich verstehe die Fragestellung gar nicht. Wenn das System über dem Körper K lösbar ist, dann natürlich auch über L, weil verwirrt
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Ich habe es auf den harten Weg gelöst, also mit Elimination und bin zu einer falschen Gleichung gekommen. Also ist das System doch i.A. nicht lösbar. Weder in , noch in oder in irgendeinem anderen Körper.

wenn das der harte Weg ist welcher ist dann der- was auch immer das Gegenteil von hart ist- Weg?
Dieses LGS ist in den rationalen Zahlen nicht lösbar. Es gibt aber sehr wohl Körper in denen es lösbar, z.B. der Körper mit 2 Elementen.
Damit wären wir auch schon beim Lerneffekt.

Zitat:
Noch ne Verständnisfrage abseits der Aufgabe. Nehmen wir mal an man hat ein 3x3 LGS, welches lösbar ist. Dann hat man ja einen "Lösungsvektor" x mit 3 Koordinaten. Aber da es sich in der Linearkombination ja um Multiplikation mit Vektoren handelt, müssten die Koordinaten von x doch aus dem Körper stammen und der ist eindimensional, sprich dürfte nur eine Koordinate haben. Kurz gesagt verstehe ich nicht, wo der Lösungsvektor herkommt.

ich hab keine Ahnung was das sagen soll. Ein Vektor ist Element des entsprechenden Vektorraums und kommt nicht aus dem zu Grunde liegenden Körper.

zu 3.) "Es ist natürlich so" ist kein Beweis. Wenn es wirklich klar ist kann man auch einen beweis dafür hinschreiben.
LemanRuss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
wenn das der harte Weg ist welcher ist dann der- was auch immer das Gegenteil von hart ist- Weg?


Teilweise kann man je nach Koordinaten ja schon sehen, ob ein Gleichungssystem lösbar ist oder nicht. Wenn z.B. in der ersten Koordinate der Vektoren nur Nullen stehen, können sie nichts anderes als die Null erzeugen.


Zitat:
Original von Captain Kirk
Dieses LGS ist in den rationalen Zahlen nicht lösbar. Es gibt aber sehr wohl Körper in denen es lösbar, z.B. der Körper mit 2 Elementen.
Damit wären wir auch schon beim Lerneffekt.


Du meinst ? Warum ist es in diesem Körper lösbar?


Zitat:
Original von Captain Kirk
ich hab keine Ahnung was das sagen soll. Ein Vektor ist Element des entsprechenden Vektorraums und kommt nicht aus dem zu Grunde liegenden Körper.


Wenn ich mir Lehrbücher anschaue, dann sehe ich dort 2 Arten, wie man die Lösung eines LGS aufschreibt. Z.B. , , oder man schreibt es so: .


Zitat:
Original von Captain Kirk
zu 3.) "Es ist natürlich so" ist kein Beweis. Wenn es wirklich klar ist kann man auch einen beweis dafür hinschreiben.


Wie gesagt, ich sehe das Problem ja gar nicht.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du meinst ? Warum ist es in diesem Körper lösbar?

Ja. Weil man es dort lösen kann.


Zitat:
Wenn ich mir Lehrbücher anschaue, dann sehe ich dort 2 Arten, wie man die Lösung eines LGS aufschreibt. Z.B. , , oder man schreibt es so: .

Richtig erkannt, das sind Schreibweisen für dasselbe.
LemanRuss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Zitat:
Du meinst ? Warum ist es in diesem Körper lösbar?

Ja. Weil man es dort lösen kann.


Liege ich richtig in der Annahme, dass man dann für nur jeweils entweder 0 oder 1 einsetzen darf? Wenn ja, dann hätte ich das doch als Lösung über auch rauskriegen müssen verwirrt
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Körper besteht nicht nur aus der zu grunde liegenden Menge sondern auch aus den beiden Veknüpfungen. Und beim Körper mit 2 Elemente kommt halt z.B. 1+1=0 raus.

Zitat:
Wenn ja, dann hätte ich das doch als Lösung über auch rauskriegen müssen verwirrt

Ist dir das genauso klar wie die 3) "kein Problem" ist?
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LemanRuss
Zitat:
Original von Captain Kirk
Zitat:
Du meinst ? Warum ist es in diesem Körper lösbar?

Ja. Weil man es dort lösen kann.


Liege ich richtig in der Annahme, dass man dann für nur jeweils entweder 0 oder 1 einsetzen darf? Wenn ja, dann hätte ich das doch als Lösung über auch rauskriegen müssen verwirrt


ist kein Unterkörper von .
LemanRuss Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Captain Kirk
Ein Körper besteht nicht nur aus der zu grunde liegenden Menge sondern auch aus den beiden Veknüpfungen. Und beim Körper mit 2 Elemente kommt halt z.B. 1+1=0 raus.


Also wäre dann über z.B. ?
LemanRuss Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt man denn auf die Lösbarkeit des Gleichungssystems über ? Wenn ich den Gauß-Algorithmus anwende steht bei mir in der letzten Zeile 0 = -4. Ich habe extra nochmal geguckt und keinen Hinweis gefunden, dass die Richtigkeit des Gauß Algorithmus abhängig vom zugrunde liegenden Körper wäre.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst halt alle Zahlen modulo 2 nehmen:



entspricht dann



mit einer Lösung .

Mit Gauß:



und den möglichen Lösungen
a)
b)
LemanRuss Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke. Freude
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