zu jeder reellen Zahl Folgen finden

09.12.2013, 01:59

porter

zu jeder reellen Zahl Folgen finden

Hallo

Ich soll zu jeder reellen Zahl $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R \cup \{\pm \infty \} \end{eqnarray*}$ Folgen (an) und (bn) finden, wobei (an) unendlich und (bn) null als Grenzwert hat, so dass der Grenzwert von (an)*(bn) = q.

Ich verstehe grad gar nicht, wie ich das machen soll. Wenn ich jetzt 2 Folgen angebe, strebt deren Produkt ja immer gegen ein q. Und wie soll ich das dann für alle q zeigen?

Es heißt ja, der Grenzwert von (an)*(bn) kann jede reelle Zahl annehmen?

Kann mir vielleicht jemand helfen?

Vielen Dank

09.12.2013, 08:56

RavenOnJ

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RE: zu jeder reellen Zahl Folgen finden
Dies ist ganz einfach. Denk mal an das Produkt von einer Zahl mit ihrem Kehrwert.

09.12.2013, 12:58

porter

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Etwa so:

$\begin{eqnarray*} <br /> a_n = n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b_n=\frac{q}{n} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

an strebt gegen unendlich, bn strebt gegen null.

an * bn = q und q mit n gegen unendlich ist q.

Ist das richtig?

09.12.2013, 13:05

RavenOnJ

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klar

09.12.2013, 13:07

porter

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Ok, danke für deine Hilfe.

Ist mir jetzt ein bisschen peinlich.

Schönen Tag noch Wink

09.12.2013, 13:07

RavenOnJ

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RE: zu jeder reellen Zahl Folgen finden

Zitat:

Original von porter
zu jeder reellen Zahl $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R {\color{red}\cup \{\pm \infty \}} \end{eqnarray*}$

Was soll aber das Rote?

09.12.2013, 13:14

porter

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Jetzt hätte ich noch eine kurze Frage.

Wenn man zeigen soll, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_n * b_n) = \infty \end{eqnarray*}$ ,

falls an gegen unendlich und bn gegen unendlich gehen.

Kann ich da einfach die Definition des uneigentlichen Grenzwertes nehmen:

zu jedem K > 0 existiert ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , so dass an > K für alle n>N ist.

Das trifft ja auf an und auf bn zu.

Kann ich da jetzt einfach an > K und n > N mit einem beliebigen Faktor multiplizieren, in dem Fall mit bn, und dann sind die Ungleichungen immer noch erfüllt?

09.12.2013, 13:16

porter

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RE: zu jeder reellen Zahl Folgen finden

Zitat:

Original von RavenOnJ

Zitat:

Original von porter
zu jeder reellen Zahl $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R {\color{red}\cup \{\pm \infty \}} \end{eqnarray*}$

Was soll aber das Rote?

So steht das in der Aufgabe.

Das soll vielleicht heißen, dass unendlich als uneigentlicher Grenzwert auch zulässig ist?

09.12.2013, 13:21

HAL 9000

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Ich denke, RavenOnJ wollte einfach drauf hinweisen, dass du dann eher hättest

Zitat:

zu jeder Zahl $\begin{eqnarray*} q\in \mathbb R \cup \{\pm \infty \} \end{eqnarray*}$

schreiben sollen, denn $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ sind keine reellen Zahlen, d.h. deine ursprüngliche Zeile enthielt einen Widerspruch in sich. Augenzwinkern

Richtig ist, dass du für $\begin{eqnarray*} q=\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q=-\infty \end{eqnarray*}$ noch passende Folgen $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ angeben musst, um die Aufgabe zu komplettieren.

09.12.2013, 13:42

RavenOnJ

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Danke HAL, so isses. Wobei man auch die Bezeichnung "Zahl" für $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ in Frage stellen kann.

Wenn beide Folgen gegen Unendlich streben, warum sollte die Produktfolge gegen einen endlichen Wert streben oder gegen minus Unendlich oder hat gar keinen Grenzwert? Meiner Ansicht nach ist das trivial, also nicht unbedingt zu zeigen.

Wenn du es aber unbedingt zeigen willst, dann kannst du es so ähnlich machen, wie du selber vorgeschlagen hast. Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}b_n =\infty \end{eqnarray*}$ majorisiert die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n b_n) \end{eqnarray*}$ die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ab einem bestimmten $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , für das $\begin{eqnarray*} \forall n > n_0:b_n > 1 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} \forall n > n_0: a_n b_n\ge a_n \end{eqnarray*}$ . Damit wird

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n b_n \ge \lim_{n\to\infty} a_n = \infty \end{eqnarray*}$ .

Analoges kann man für die anderen Kombinationen unendlicher Grenzwerte zeigen.

09.12.2013, 13:44

porter

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Achso, jetzt verstehe ich was ihr meint.

Dann suche ich noch passende Folgen für diese beiden Fälle.

Wenn ich jetzt aber allgemein zeigen will, dass der Grenzwert von einem Produkt zweier Folgen wieder unendlich ist, wenn beide Folgen für sich einen unendlichen Grenzwert haben, kam das dann so wie oben machen?

09.12.2013, 13:49

RavenOnJ

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Hast du eigentlich gelesen, was ich gerade geschrieben habe?

09.12.2013, 14:20

porter

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Ich habe meinen Beitrag am Handy verfasst, und als ich auf antworten gedrückt habe war der Beitrag noch nicht da. Mit dem Handy hat es bei mir dann länger gedauert, und als ich auf absenden gedrückt habe, war der Beitrag dann da.

Vielen Dank für die Hilfe.

Ich glaube schon Folgen für unendlich gefunden zu haben.

an ist 2n^2 und bn einmal -1/n und einmal 1/n?

09.12.2013, 15:05

RavenOnJ

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z. B.

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