K-Algebra beweisen - Endomorphismus

09.12.2013, 09:44

bob123

K-Algebra beweisen - Endomorphismus

Hi, folgende Aufgabe:

Sei K ein Körper und V ein K-Vektorraum.Man beweise,dass $\begin{eqnarray*} End_{K}(V) \end{eqnarray*}$ eine K-Algebra ist mit Komposition von Endomorphismen als Multiplikation und mit $\begin{eqnarray*} id_{v} \end{eqnarray*}$ als Einselement.

Ich muss erstmal zeigen, dass es eine K-Algebra ist, die Definition dazu ist:
r*(u*v) = (r*u)*v = u*(r*v) wobei r Element in K ist und u,v Element in V ist.

Wie ist das nun zu zeigen?
Was ist bei dem Einselement zu zeigen? Muss nur gezeigt werden, dass id(V) * v = id(V) herauskommt oder muss gezeigt werden dass der Endomorphismus-K(v) * e = Endomorphismus-K(v) ist?

09.12.2013, 10:31

RavenOnJ

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RE: K-Algebra beweisen - Endomorphismus
Erst mal solltest du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum ist, also Addition und skalare Multiplikation von Endomorphismen sind wieder Endomorphismen.

Danach die Bilinearität der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ zeigen. Also mit Endomorphismen $\begin{eqnarray*} E,F,G\in \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (E+F)\circ G = E\circ G + F\circ G \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E\circ (F+ G )= E\circ F + E\circ G \end{eqnarray*}$

und die skalare Multiplikation
$\begin{eqnarray*} \lambda(F\circ G )= (\lambda F)\circ G = F\circ (\lambda G) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bob123

Wie ist das nun zu zeigen?
Was ist bei dem Einselement zu zeigen? Muss nur gezeigt werden, dass id(V) * v = id(V) herauskommt oder muss gezeigt werden dass der Endomorphismus-K(v) * e = Endomorphismus-K(v) ist?

Letzteres (was soll id(V) * v = id(V) sein?):
$\begin{eqnarray*} \operatorname{id}_V\circ E = E\circ \operatorname{id}_V = E, E\in \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$

09.12.2013, 10:47

bob123

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Muss es nicht in der ersten Zeile E kompos. mit G heißen anstatt E kompos. mit F?

Die Definition der K-Algebra hab ich oben geschrieben, muss ich das nicht nachweisen?

Endomorphismus wird ja in sich selbst abgebildet, da es ein K-Vektorraum ist eine Addition bzw. Multiplikation wieder ein Endomorphismus...
Wieso muss ich hier die Bilinearität zeigen? Ich soll doch nur mittels Komposition beweisen, dass es sich um ein K-Algebra handelt... Ich versteh es gerade nicht :/

09.12.2013, 10:57

RavenOnJ

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Zitat:

Original von bob123
Muss es nicht in der ersten Zeile E kompos. mit G heißen anstatt E kompos. mit F?

Schon verbessert.

Zitat:

Die Definition der K-Algebra hab ich oben geschrieben, muss ich das nicht nachweisen?

Endomorphismus wird ja in sich selbst abgebildet, da es ein K-Vektorraum ist eine Addition bzw. Multiplikation wieder ein Endomorphismus...

Du hast hier zwei K-Vektorräume. Einmal V. Dann ist aber auch der Endomorphismenring über V ein K-Vektorraum. Das musst du noch zeigen.

Zitat:

Wieso muss ich hier die Bilinearität zeigen? Ich soll doch nur mittels Komposition beweisen, dass es sich um ein K-Algebra handelt... Ich versteh es gerade nicht :/

Weil die Multiplikation in der K-Algebra bilinear sein muss. Geh am besten über die Darstellung der Endomorphismen durch Matrizen, dann sollte das relativ einfach sein.

09.12.2013, 11:06

RavenOnJ

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RE: K-Algebra beweisen - Endomorphismus

Zitat:

Original von RavenOnJ
Erst mal solltest du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum ist, also Addition und skalare Multiplikation von Endomorphismen sind wieder Endomorphismen.

Da du wohl voraussetzen darfst, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist, musst du nur noch die skalare Multiplikation betrachten.

Dann muss man allerdings auch nicht mehr die Bilinearität zeigen, da die schon durch die Ringstruktur gegeben ist.

09.12.2013, 12:12

bob123

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"Du hast hier zwei K-Vektorräume. Einmal V. Dann ist aber auch der Endomorphismenring über V ein K-Vektorraum. Das musst du noch zeigen."

Wie beweis ich das denn? Ich weiß, dass Endomorphismus bedeutet dass die Abbildung auf sich selbst abgebildet wird und sie auch linear ist?

09.12.2013, 13:02

RavenOnJ

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Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} E\in \operatorname{End}_K(V)\Rightarrow \lambda E\in \operatorname{End}_K(V),\lambda \in K \end{eqnarray*}$ .

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